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funktion: funktion, f'(c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman

Aufgabe
f: [mm] \IR \to \IR [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2} , & \mbox {falls x} \le c \\ax+b, & \mbox{falls x>c} \end{cases} [/mm]

Finde a und b (n Abhängigkeit von c), so dass f´(c) existiert.

[mm] f'(x)=\begin{cases} 2x , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases} [/mm]

[mm] f'(c)=\begin{cases} 2c , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases} [/mm]

an der stelle c müssen beide teilfunktionen die gleiche Steigung haben, damit f´(c) exisistiert, also:
2c=a [mm] \Rightarrow [/mm] a=2c

ich habe probleme nun b zu bestimmen, zuerst dachte ich, b kann beliebig geählt werden, aber wenn man sich die beiden funktionen anschaut sieht man sofort, dass b nicht x-beliebig gewählt werden kann..
eigentlich ist ja b von a behängig... wenn a fest ist, gibt es für dieses a ein bestimmtes b.... (a beschreibt ja die Steigung des Graphen und b den oordinatenabschnitt)

falls x>c:
[mm] f(c)=ac+b=2c^{2}+b \Rightarrow b=f(c)-2c^{2} [/mm]

wenn ich für f(c) was einsetze kürzt sich das b wieder raus....  was mach ich denn falsch?!?

        
Bezug
funktion: auch Funktionswerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


Auch die Funktionswerte an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ c$ müssen übereinstimmen, so dass auch gelten muss:
$$f(c) \ = \ [mm] c^2 [/mm] \ = \ a*c+b$$
Für $a_$ kannst Du ja einsetzen (gemäß Deiner Rechnung): $a \ = \ 2*c$ .

Daraus lässt sich dann auch $b_$ ermitteln.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman

oh stimmt, hatte die andere teilfunktion irgendwie unter den tisch fallen lassen
[mm] b=-c^2 [/mm] stimmts?

Bezug
                        
Bezug
funktion: stimmt so!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


[daumenhoch] Das habe ich auch erhalten ...


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman


> [mm]f'(c)=\begin{cases} 2c , & \mbox{falls x} \le c \\ a, & \mbox{falls x>c} \end{cases}[/mm]
>  

muss man hier nicht "falls x [mm] \le [/mm] c ..." streichen? da ich ja jetzt c für x eingesetzt habe?

Bezug
                
Bezug
funktion: genauer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


Wenn man ganz genau ist, müsste man hier wohl auch die Grenzwertdarstellung wählen.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Mo 31.12.2007
Autor: weihnachtsman

was meinst du jetzt? war das eine antwort auf meine frage?!? versteh nicht genau was du meinst... ;)

Bezug
                                
Bezug
funktion: ganz genau
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Mo 31.12.2007
Autor: Loddar

Hallo weihnachtsman!


Für $f'(c)_$ darf man ganz genau auch nur $f'(c) \ = \ 2c$ schreiben (unter der Voraussetzung, dass $f(x)_$ auch wirklich durch entsprechende $a_$ und $b_$ an der Stelle $x \ = \ c$ differenzierbar ist).

Das heißt, dass Deine Darstellung auch nicht 100%-ig exakt dargestellt ist.


Gruß
Loddar


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