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Forum "Rationale Funktionen" - funktion diskutieren
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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

Aufgabe
f:y = [mm] \bruch{x}{|lnx|} [/mm]

Diskutiere diese Funktion

Sorry, noch einmal....


Ich kenn mich hier gar nicht aus.

Was ich schon herausgefunden habe ist die Defintionsmenge. Die müsst D [mm] =)0;\infty( [/mm]  
(sollten eckige Klammern sein, die ich nicht gefunden habe)

Aber wie kann ich mir die Asymptoten, Polstellen, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und die Tangente berechnen??

Was ich noch weiß ist die 1.Ableitung von |lnx| das müsste 1/x sein.

        
Bezug
funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 14.09.2010
Autor: abakus


> f:y = [mm]\bruch{x}{|lnx|}[/mm]
>  
> Diskutiere diese Funktion
>  Sorry, noch einmal....
>  
>
> Ich kenn mich hier gar nicht aus.
>
> Was ich schon herausgefunden habe ist die Defintionsmenge.
> Die müsst D [mm]=)0;\infty([/mm]  
> (sollten eckige Klammern sein, die ich nicht gefunden
> habe)
>  
> Aber wie kann ich mir die Asymptoten, Polstellen,
> Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und die Tangente
> berechnen??

Nullstellen: Term gleich Null setzen
Extremstellen: 1. Ableiung Null setzen, 2. Ableitung zum Testen
Wendestellen: 2. Ableiung Null setzen, 3. Ableitung zum Testen

>  
> Was ich noch weiß ist die 1.Ableitung von |lnx| das
> müsste 1/x sein.

Mit Einschränkung: deine Aussage trifft nur zu, wenn ln(x)>0 gilt.

Da es sich um einen Quotienten handelt, brauchst du auch noch die Quotientenregel.
Nun fang mal an mit Ableiten.
Gruß Abakus

Gruß Abakus


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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

Nullstelle:

f(x) = 0

[mm] \bruch{x}{lnx} [/mm] = 0

x = 0 N(0/0)

Für die 1.Ableitung: y'= [mm] \bruch{1*lnx-x*ln}{(lnx)^{2}} [/mm]

y`= [mm] \bruch{lnx-lnx}{(lnx)^{2}} [/mm]

wird wahrscheinlich nicht stimmen, oder?


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funktion diskutieren: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Di 14.09.2010
Autor: Loddar

Hallo Teresa!


Du solltest Dir zunächst Gedanken über den Definitionsbereich der Funktion machen (welche x-Werte darf ich überhaupt einsetzen?).

Dann sollte Dir auffallen, dass Deine Nullstelle keine Nullstelle sein kann.



Um die Ableitungen der Funktionen zu ermitteln, solltest Du auch gemäß Definition der Betragsfunktion eine Fallunterscheidung vornehmen, um die Betragsstriche zu eliminieren.



Deine Ableitung stimmt so nicht (diese Rechnung gilt auch nur für [mm]\ln(x) \ > \ 0[/mm] ), da Du im Zähler [mm]\ln(x)[/mm] falsch abgeleitet hast.


Gruß
Loddar



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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

Ableitung für lnx = 1/x


[mm] y'=\bruch{1*lnx - x* (1/x)}{(lnx)^{2}} [/mm]

Und für die Definitionsmenge habe ich im Internet gefunden
D [mm] )0;\infty( [/mm]

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funktion diskutieren: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Di 14.09.2010
Autor: Loddar

Hallo Teresa!



> Ableitung für lnx = 1/x

[ok]


> [mm]y'=\bruch{1*lnx - x* (1/x)}{(lnx)^{2}}[/mm]

[ok] Das kann man nun noch etwas zusammenfassen.

Aber wie bereits gesagt: dies gilt nur für [mm]\ln(x) \ > \ 0[/mm] .


> Und für die Definitionsmenge habe ich im Internet gefunden
> D [mm])0;\infty([/mm]  

Das ist der Definitionsbereich der ln-Funktion.

Gibt es vielleicht noch einen x-Wert, den man bei unserer §Bruch-Funktion" ausschließen muss?
Wann wird denn [mm]\ln(x) \ \red{=} \ 0[/mm] ?


Gruß
Loddar



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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

D = [mm] \IR \backslash\{1\} [/mm]  ????

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funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 14.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Teresa_C,

> D = [mm]\IR \backslash\{1\}[/mm]  ????


1 ist die Stelle, die ausgeschlossen werden muss.

Jetzt kombiniere das mit dem Definitionsbereich aus Deinem letzten Post.


Gruss
MathePower

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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

D $ [mm] )0;1;\infty( [/mm] $

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funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Di 14.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Teresa_C,

> D [mm])0;1;\infty([/mm]


Der Definitionsbereich wird so geschrieben:

[mm]D=\left)0,\infty\right( \setminus \left\{1\right\}[/mm]


Gruss
MathePower

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funktion diskutieren: Alternative
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:46 Di 14.09.2010
Autor: Loddar

Hallo Teresa!


Alternativ kann man auch schreiben:

[mm]D_x \ = \ \IR^+\backslash\{1\}[/mm]


Gruß
Loddar



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funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

deine Ableitung stimmt nur für $x>1$

Für $0<x<1$ ist sie falsch!

Gruß

schachuzipus

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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Di 14.09.2010
Autor: Teresa_C

und wie krieg ich dann die ableitung für x<1??

ich hab echt keine Ahnung wie ich bei dem Beispiel weiterkomme,...


Aber danke für eure Hilfe!!

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funktion diskutieren: Definition Betragsfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Di 14.09.2010
Autor: Loddar

Hallo Teresa!


Für $x \ < \ 1$ gilt:  [mm] $\left|\ln(x)\right| [/mm] \ = \ [mm] -\ln(x)$ [/mm] .


Gruß
Loddar



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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 So 03.10.2010
Autor: Teresa_C

So hab mich nochmal dazugesetzt! blick zwar immer noch nicht durch aber ich hab jetzt mal was anderes für y':

[mm] \bruch{1}{ln(x)} [/mm] - [mm] \bruch{x* ln(x)}{ln^2(x)} [/mm]

Stimmt das jetzt endlich ?

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funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 So 03.10.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Geh mal etwas strukturierter an die Sache heran.

Du hast:

[mm] f(x)=\bruch{x}{|\ln(x)|}=\begin{cases}\bruch{x}{\ln(x)},&\mbox{fuer} x>1\\ -\bruch{x}{\ln(x)},&\mbox{fuer}0
Da sich die Ableitungen nder Teilfunktionen nur um das - davor unterscheiden, gebe ich dir mal die erste vor:

Du hast also:

[mm] f_{1}(x)=\bruch{\overbrace{x}^{u}}{\underbrace{\ln(x)}_{v}} [/mm]
Mit der MBQuotientenregel ergibt sich:
[mm] f_{1}'(x)=\bruch{\overbrace{1}^{u'}*\overbrace{\ln(x)}^{v}-\overbrace{x}^{u}*\overbrace{\bruch{1}{x}}^{v'}}{\underbrace{(\ln(x))^{2}}_{v^{2}}} [/mm]

Versuche das jetzt mal vernünftig zu vereinfachen.



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funktion diskutieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Mo 04.10.2010
Autor: Teresa_C

das einzige was ich mir denke ist:

[mm] \bruch{ln(x) -1}{(ln(x))^2} [/mm]

aber ich hab da echt keine Ahnung und bin mir auch ziemlich sicher dass das falsch ist!
diese ln Ableitungen versteh ich einfach nicht!

Bezug
                                                
Bezug
funktion diskutieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mo 04.10.2010
Autor: angela.h.b.


> das einzige was ich mir denke ist:


> [mm]\bruch{ln(x) -1}{(ln(x))^2}[/mm]

Hallo,

Du müßtest uns allerdings noch verraten, was dieser Term sein soll...

Ich sag' Dir's: das ist die erste Ableitung der Funktion f im Intervall [mm] ]1,\infty[, [/mm] also

[mm] f'(x)=\bruch{ln(x) -1}{(ln(x))^2} [/mm]   für [mm] x\in ]1,\infty[. [/mm]

Marius hatte Dir die Funktion schon abschnittweise definiert hingeschrieben. (Hast Du das verstanden? Hast Du die Funktion mal gezeichnet?)

Bilde nun die Ableitung für den zweiten der beiden Funktionsäste.


>  
> aber ich hab da echt keine Ahnung und bin mir auch ziemlich
> sicher dass das falsch ist!
> diese ln Ableitungen versteh ich einfach nicht!

Die Ableitung vn g(x)=ln(x) ist [mm] g'(x)=\bruch{1}{x}. [/mm]
Was verstehtst Du daran nicht?

Deine Funktion f ist ein Quotient, also muß mit der Quotientenregel abgeleitet werden. Hast Du hiermit ein Problem? Welches?

Mit "bestimmt falsch" und "versteh ich einfach nicht" hat man so wenig Anhaltspunkte dafür, wo die Hilfe ansetzen muß.

Gruß v. Angela


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