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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - funktionentheorie
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funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 So 12.07.2009
Autor: XPatrickX

Aufgabe
Sei f eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet [mm] \Omega \subset \IC [/mm] mit der Eigenschaft, dass deren komplexe Ableitung f'(z) in einer Teilmenge [mm] A\subset \Omega [/mm] verschwindet, welche mind. einen Häufungspunkt [mm] z_0\in\Omega [/mm] besitzt.
Man zeige:
- Die Ableitungen [mm] f^{(k)}(z_0) [/mm] für $k>0$ beliebig in [mm] z_0 [/mm] sind Null
- f muss auf ganz [mm] \Omega [/mm] konstant sein

Hallo,

ich weiß nicht, wie ich die obige Aufgabe zu lösen habe. Also ich habe noch nichteimal einen Ansatz. Hoffe, dass mir trotzdem jemand helfen kann/mag.


Viele Grüße!

        
Bezug
funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 12.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Patrick,

> Sei f eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet [mm]\Omega \subset \IC[/mm]
> mit der Eigenschaft, dass deren komplexe Ableitung f'(z) in
> einer Teilmenge [mm]A\subset \Omega[/mm] verschwindet, welche mind.
> einen Häufungspunkt [mm]z_0\in\Omega[/mm] besitzt.
> Man zeige:
>  - Die Ableitungen [mm]f^{(k)}(z_0)[/mm] für [mm]k>0[/mm] beliebig in [mm]z_0[/mm]
> sind Null
>  - f muss auf ganz [mm]\Omega[/mm] konstant sein
>  Hallo,
>  
> ich weiß nicht, wie ich die obige Aufgabe zu lösen habe.
> Also ich habe noch nichteimal einen Ansatz. Hoffe, dass mir
> trotzdem jemand helfen kann/mag.

Da $f$ holomorph im Geniet [mm] $\Omega$ [/mm] ist, so ist es $f'$ auch.

Nun hat die Menge [mm] $\{f'(z)=0\}$ [/mm] einen Häufungspunkt in [mm] $\Omega$ [/mm]

Nun schaue mal scharf auf den Identitätssatz ...

>
>
> Viele Grüße!


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 12.07.2009
Autor: XPatrickX

Hallo und danke bisher,

wenn ich mir bei Wikipedia den Satz angucke
[]Identitätssatz für Gebiete
dann folgt ja die Aussage eigentlich direkt daraus mit g=0


und das f bereits ganz konstant ist, folgt daraus, dass die Ableitung auf ganz [mm] \Omega [/mm] Null ist?

Bezug
                        
Bezug
funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 12.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo und danke bisher,
>
> wenn ich mir bei Wikipedia den Satz angucke
>  
> []Identitätssatz für Gebiete
> dann folgt ja die Aussage eigentlich direkt daraus mit g=0

Ja!

>  
>
> und das f bereits ganz konstant ist, folgt daraus, dass die
> Ableitung auf ganz [mm]\Omega[/mm] Null ist?

Auch ja!

LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
funktionentheorie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 So 12.07.2009
Autor: XPatrickX

Super!
Danke Dir.

Bezug
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