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Hallo,
ich war im letzten Schuljahr in den USA als Austauschsschüler und bin jetzt in meinen alten Jahrgang zurück gekommen. Deshalb fehlt mir die ein oder andere Grundlage um gestellte Aufgaben zu beantworten. Ich sitze nun seit 2 Stunden vor den folgenden zwei Aufgaben und kommen nur Ansatzweise vorwärtz.
1. Aufgabe:
Das Schaubild der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx hat bei x=1 einen Hochpunkt, bei x=2 einen Wendepunkt und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9 FE. Gib f(x) an.
Mein Lösungsansatz:
f''(x)=6ax+2b => 12a+2b=0 => b=-6a
f'(x)=3ax²+2bx+c => 3a-12a+c=0
[mm] a/4*x^4+b/3*x³+c/2*x²=9 [/mm] => [mm] a/4*x^4-2a*x³+9/2*ax²
[/mm]
f(x)=a(x³-6x²+9)
aber wie finde ich a raus?
2. Aufgabe
Welce Parabel 2. Ordnung, die durch O geht und ihren Scheitel auf der Geraden g: y= 4-x im 1. Feld hat, schließt mit der x-Achse eine möglichst große Fläche ein? Gib dem maximalen Flächeninhalt an.
Mein Lösungsansatz:
[mm]\integral_{0}{2x}{f(ax²+bx+c)dx}[/mm]
f'(x)=2ax+b => 2ax+b=0 => b=-2ax
=> f(x)= ax²-2ax²+c=-ax²+c
wie man jetzt g(x) und f(x) zu einer neuen Formel für den max. Flächeninhalt zusammensetzt fällt mir aber leider nicht mehr ein.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
Rachel
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Hallo rachel_hannah,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. Aufgabe:
> Das Schaubild der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx hat bei
> x=1 einen Hochpunkt, bei x=2 einen Wendepunkt und schließt
> mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9 FE. Gib f(x)
> an.
> Mein Lösungsansatz:
> f''(x)=6ax+2b => 12a+2b=0 => b=-6a
> f'(x)=3ax²+2bx+c => 3a-12a+c=0
> [mm]a/4*x^4+b/3*x³+c/2*x²=9[/mm] => [mm]a/4*x^4-2a*x³+9/2*ax²[/mm]
> f(x)=a(x³-6x²+9)
> aber wie finde ich a raus?
es werden noch die Nullstellen der Funktion f(x) benötigt.
Dann lässt sich a bestimmen.
Gruß
MathePower
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Hi,
genau, die Nullstellen brauchst du, und zwar ist ja
f(x)=ax³+bx²+cx [mm] =$x(ax^2+bx+c)$.
[/mm]
x=0 ist eine, und mit pq-Formel oder quadr. Ergänzung bekommst du die andere.
Also: [mm] $ax^2+bx+c=0$. [/mm] --> [mm] $x^2+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a}=0.$
[/mm]
[mm] $$x_{1/2}=-\bruch{b}{2a}\pm\wurzel{\bruch{b^2}{4a^2}-\bruch{c}{a}}.$$
[/mm]
Und hier kannst du natürlich dein b und c schon einsetzen, dann ist es einfacher.
Das ist dir wahrscheinlich eh schon klar gewesen, aber ich bin froh, wenn ich hier auch mal eine Frage beantworten kann und nicht immer selbst nur Fragen stelle!!! 
Naja, und diese Nullstellen dienen als Integralgrenzen, damit du 9 rausbekommst. Du musst also von der negativen Nullstelle bis 0 und von 0 bis zur positiven Nullstelle integrieren, das Ergebnis ist dann 9.
Ich hoffe, ich vertu mich nicht, aber probiers mal aus.
Ciaoi
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Hallo rachel_hannah,
> 2. Aufgabe
> Welce Parabel 2. Ordnung, die durch O geht und ihren
> Scheitel auf der Geraden g: y= 4-x im 1. Feld hat, schließt
> mit der x-Achse eine möglichst große Fläche ein? Gib dem
> maximalen Flächeninhalt an.
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]\integral_{0}{2x}{f(ax²+bx+c)dx}[/mm]
> f'(x)=2ax+b => 2ax+b=0 => b=-2ax
> => f(x)= ax²-2ax²+c=-ax²+c
> wie man jetzt g(x) und f(x) zu einer neuen Formel für den
> max. Flächeninhalt zusammensetzt fällt mir aber leider
> nicht mehr ein.
zunächst geht die Parabel durch O, dies ist gleichbedeutend mit f(0)=0, woraus sich dann c=0 ergibt.
Es handelt sich´dann um diese Funktion:
[mm]f(x)\; = \;a\;x^2 \; + \;b\;x[/mm]
Bestimme dann die Scheitelpunktform der Parabel.
Setze den Scheitel [mm](x_{S}|y_{S})[/mm] in diese Gleichung ein:
[mm](1)\;4\; - \;x_S \; = \;y_S [/mm]
Bestimme die Nullstellen [mm]x_{0},\;x_{1}[/mm] der Funktion f(x).
Dann berechnest Du den Flächeninhalt:
[mm]\int\limits_{x_0 }^{x_1 } {a\;x^2 \; + \;b\;x} \;dx\; = \;A\left( {a,\;b} \right)[/mm]
Um nun das Maximum von A(a,b) zu bestimmen, ersetzt Du eine Variable durch die jeweils andere. Hierzu dient die Gleichung (1).
Die Flächeninhaltsfunktion ist jetzt nur noch von einer Variablen abhängig. Und davon kannst Du das Extremum bestimmen.
Gruß
MathePower
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> Hallo rachel_hannah,
>
> > 2. Aufgabe
> > Welce Parabel 2. Ordnung, die durch O geht und ihren
> > Scheitel auf der Geraden g: y= 4-x im 1. Feld hat, schließt
> > mit der x-Achse eine möglichst große Fläche ein? Gib dem
> > maximalen Flächeninhalt an.
> > Mein Lösungsansatz:
> > [mm]\integral_{0}{2x}{f(ax²+bx+c)dx}[/mm]
> > f'(x)=2ax+b => 2ax+b=0 => b=-2ax
> > => f(x)= ax²-2ax²+c=-ax²+c
> > wie man jetzt g(x) und f(x) zu einer neuen Formel für
> den
> > max. Flächeninhalt zusammensetzt fällt mir aber leider
> > nicht mehr ein.
>
> zunächst geht die Parabel durch O, dies ist gleichbedeutend
> mit f(0)=0, woraus sich dann c=0 ergibt.
>
> Es handelt sich´dann um diese Funktion:
>
> [mm]f(x)\; = \;a\;x^2 \; + \;b\;x[/mm]
>
> Bestimme dann die
> Scheitelpunktform
> der Parabel.
>
> Setze den Scheitel [mm](x_{S}|y_{S})[/mm] in diese Gleichung ein:
>
> [mm](1)\;4\; - \;x_S \; = \;y_S[/mm]
>
> Bestimme die Nullstellen [mm]x_{0},\;x_{1}[/mm] der Funktion f(x).
>
> Dann berechnest Du den Flächeninhalt:
>
> [mm]\int\limits_{x_0 }^{x_1 } {a\;x^2 \; + \;b\;x} \;dx\; = \;A\left( {a,\;b} \right)[/mm]
>
> Um nun das Maximum von A(a,b) zu bestimmen, ersetzt Du eine
> Variable durch die jeweils andere. Hierzu dient die
> Gleichung (1).
>
> Die Flächeninhaltsfunktion ist jetzt nur noch von einer
> Variablen abhängig. Und davon kannst Du das Extremum
> bestimmen.
>
> Gruß
> MathePower
Vielen Dank für die erste Antwort. Das hat mir echt weitergeholfen undf ich kann ses jetzt auch für andere Funktionen anwenden. Aber ich habe nach wie vor Probleme mit NR. 2. Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Scheitelpunktgform aufstellen muss, um ein akzeptables Ergebnis zu bekommen. Der Rest dürfte dann kein Problem sein.
Rachel
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Hallo rachel_hannah,
> > Bestimme dann die
> >
> Scheitelpunktform
> > der Parabel.
>
> Vielen Dank für die erste Antwort. Das hat mir echt
> weitergeholfen undf ich kann ses jetzt auch für andere
> Funktionen anwenden. Aber ich habe nach wie vor Probleme
> mit NR. 2. Ich habe leider keine Ahnung wie ich die
> Scheitelpunktgform aufstellen muss, um ein akzeptables
> Ergebnis zu bekommen. Der Rest dürfte dann kein Problem
> sein.
hat der Link denn etwas zum Verständnis beigetragen?
Das sind bloß ein paar Umformungen, die Du machen musst:
[mm]
\begin{gathered}
f(x)\; = \;a\;x^2 \; + \;b\;x \hfill \\
= \;a\;\left( {x^2 \; + \;\frac{b}
{a}\;x} \right) \hfill \\
= \;a\;\left( {\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a^2 }}} \right) \hfill \\
= \;a\;\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a}} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Der Scheitelpunkt [mm](x_{S}|y_{S})[/mm] ist nun der jenige Punkt,
an dem die Parabel eine waagrechte Tangente hat.
Gruß
MathePower
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Hey tut mir echt leid, aber im Moment steh ich total auf der Leitung. Könntest du mir vielleicht mal einen vollständigen Lösungsweg angeben. Ich weiß nicht wie ich die Funktionen und Gleichungen nu tatsächlich in Verbindung setzen muss.
Und zu deiner Frage mit dem Link, ich hatte mir das kurz angeguck, direkt nachdem du geantwortet hattest, habs auch glaub ich verstanden, aber hatte dann keine Zeit mehr. Als ich mich dann wieder dran gesetzt hab, hat der Link nicht mehr Funktioniert.
Danke noch mal.
Rachel
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Hallo rachel_hannah,
> Hey tut mir echt leid, aber im Moment steh ich total auf
> der Leitung. Könntest du mir vielleicht mal einen
> vollständigen Lösungsweg angeben. Ich weiß nicht wie ich
> die Funktionen und Gleichungen nu tatsächlich in Verbindung
> setzen muss.
fangen wir mit dem Scheitelpunktsform an:
[mm]
\begin{gathered}
f(x)\; = \;a\;x^2 \; + \;b\;x \hfill \\
= \;a\;\left( {x^2 \; + \;\frac{b}
{a}\;x} \right) \hfill \\
= \;a\;\left( {\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a^2 }}} \right)\; \hfill \\
= \;a\;\left( {x\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}} \right)^2 \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a}} \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Hieraus ergibt sich der Scheitelpunkt:
[mm]x_{S} \; = \; - \;\frac{b}
{{2\;a}}\; \Rightarrow \;y_{S} \; = \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a}}[/mm]
Dieser Punkt muß auf der Geraden [mm]y\;=\;4\;-\;x[/mm] liegen.
Demzufolge gilt:
[mm]
\begin{gathered}
4\; - \;x_S \; = \;y_S \hfill \\
\Rightarrow \;4\; + \;\frac{b}
{{2\;a}}\; = \; - \;\frac{{b^2 }}
{{4\;a}} \hfill \\
\Leftrightarrow \;16\;a\; + \;2\;b\; + \;b^2 \; = \;0\;\left( 1 \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {b\; + \;1} \right)^2 \; + \;16\;a\; - \;1\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Diese Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn [mm]a\; \leqslant \;\frac{1}
{{16}}[/mm].
Als nächstes bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f(x):
[mm]\begin{gathered}
f(x) = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;a\;x^2 \; + \;b\;x\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;a\;x\;\left( {x\; + \;\frac{b}
{a}} \right)\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;x_0 \; = \;0,\;x_1 \; = \; - \;\frac{b}
{a} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das sind die Grenzen für das Integal:
[mm]\begin{gathered}
\int\limits_0^{ - {\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} {a\;x^2 \; + \;b\;x\;dx} \; = \;\left[ {\frac{1}
{3}\;a\;x^3 \; + \;\frac{1}
{2}\;b\;x^2 } \right]_0^{ - {\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/
{\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \hfill \\
= \;\frac{1}
{3}\;a\;\left( { - \;\frac{b}
{a}} \right)^3 \; + \;\frac{1}
{2}\;b\;\left( { - \;\frac{b}
{a}} \right)^2 \; = \;\frac{{b^3 }}
{{6\;a^2 }}\; = \;A(a,b) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Da wir eine Variable in Abhängigkeit einer anderen darstellen müssen, wählen wir a = a(b).
[mm]\left( 1 \right)\; \Rightarrow \;a\; = \; - \frac{1}
{{16}}\;b\;\left( {b\; + \;2} \right)[/mm]
Dann läßt sich der Flächeninhalt wie folgt beschreiben:
[mm]A\left( a \right)\; = \;\frac{{b^3 }}
{{6\;\frac{1}
{{256}}\;b^2 \;\left( {b\; + \;2} \right)^2 }}\; = \;\frac{{128}}
{3}\;\frac{b}
{{\left( {b\; + \;2} \right)^2 }}[/mm]
Dieser soll nun maximal werden:
[mm]\begin{gathered}
A'(b)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\frac{{128}}
{3}\;\frac{{\left( {b\; + \;2} \right)^2 \; - \;2\;\left( {b\; + \;2} \right)\;b}}
{{\left( {b\; + \;2} \right)^4 }}\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\frac{{128}}
{3}\;\frac{{b\; + \;2\; - \;2\;b}}
{{\left( {b\; + \;2} \right)^3 }}\; = \;0 \hfill \\
\Rightarrow \;b\; = \;2 \hfill \\
\Rightarrow \;a\; = \; - \frac{1}
{{16}}\;b\;\left( {b\; + \;2} \right)\; = \; - \;\frac{1}
{2} \hfill \\
\Rightarrow \;f(x)\; = \; - \;\frac{1}
{2}\;x^2 \; + \;2\;x \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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Tausend Dank, ich glaub ich habs jetzt endlich kapiert. Ich hatte´das ganze nur einfacher in Erinnerung , konnte mir also den eigentlichen Aufbau gar nicht so vorstellen. Immerhin werd ich das jetzt nicht mehr so schnell vergessen  .
Rachel
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