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Wird
[mm] [(0^2 [/mm] +1) + [mm] (1^2 [/mm] +1) + [mm] (2^2 [/mm] +1) ... + [mm] (x^2 [/mm] +1)] / [mm] (x^2 [/mm] +1)
unendlich groß, oder wird im unendlichen ein maximalwert erreicht ?
Zur weiteren Erklärung (nicht notwendig):
[mm] [(0^2 [/mm] +1) + [mm] (1^2 [/mm] +1) + [mm] (2^2+1)] [/mm] / [mm] (2^2 [/mm] +1)
ist mit dem endwert x=2 zum beispiel größer als
[mm] [(0^2 [/mm] +1) + [mm] (1^2 [/mm] +1)] / [mm] (1^2 [/mm] +1)
aber des höher die x-werte, desto weniger steigt das ergebnis, deshalb die frage ob sie immer noch so viel steigen, dass das ergebnis im unendlichen unendlich groß wird, oder ob das ergebnis schließlich doch im unendlichen ein max. wert erreicht.
vielen dank
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 01.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Schreiben wir Deine Reihe etwas um:
[mm] $\bruch{\left(0^2+1\right)+\left(1^2+1\right)+\left(2^2+1\right)+...+\left(x^2+1\right)}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{x}\left(k^2+1\right)}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{x}k^2+\summe_{k=0}^{x}1}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe_{k=0}^{x}k^2 + (x+1)*1}{x^2+1}$
[/mm]
Und nun die Formel für die Quadratzahlen-Summen einsetzen:
[mm] $\summe_{k=0}^{n}k^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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