galoiserweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Di 27.06.2006 | | Autor: | margit |
| Aufgabe | | sei k ein körper der keine galois-erweiterung vom grad 3 hat. kann k dann eine galoiserweiterung vom grad 225 haben? |
hallo zusammen,
hier sind meine bisherigen erkenntnisse:
suche eine gruppe G mit IGI = 225 = [mm] 3^2 [/mm] * [mm] 5^2 [/mm] und bestimme deren untergruppen.
dann hab ich eine 5-sylowuntergruppe s5 = 1 ( ist normalteiler)
und entweder eine oder 25 3-Sylowuntergruppen s3 = 1, 25
falls s3 = s5 = 1 wäre hätte ich zwei normalteiler und somit das direkte produkt
=> G =~ zu Z9 x Z 25 und G wäre abelsch. dann hätte G einen normalteiler N der ordnung 3 und somit eine körpererweiterung vom grad 3 die galoissch ist, da N normalteiler ist.
widerspruch zur angabe somit keine erweiterung vom grad 225.
nun meine Frage:
ist das bis hierhin soweit richtig und wie beweise ich dass s3 = 1 sein muss und nicht 25 sein kann??
hab es über die anzahl der elemente versucht, klappt aber nicht w/ direktem Produkt vermute ich.
vielen dank
mfg
margit
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 27.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Margit und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> sei k ein körper der keine galois-erweiterung vom grad 3
> hat. kann k dann eine galoiserweiterung vom grad 225
> haben?
> hallo zusammen,
> hier sind meine bisherigen erkenntnisse:
> suche eine gruppe G mit IGI = 225 = [mm]3^2[/mm] * [mm]5^2[/mm] und bestimme
> deren untergruppen.
> dann hab ich eine 5-sylowuntergruppe s5 = 1 ( ist
> normalteiler)
> und entweder eine oder 25 3-Sylowuntergruppen s3 = 1, 25
>
> falls s3 = s5 = 1 wäre hätte ich zwei normalteiler und
> somit das direkte produkt
> => G =~ zu Z9 x Z 25 und G wäre abelsch.
Diesen letzten Schluß verstehe ich nicht, er ist falsch oder meine Kenntnisse reichen nicht oder ich stehe gerade auf dem Schlauch. Könntest du ihn mal begründen? Oder jemand anders?
> dann hätte G einen
> normalteiler N der ordnung 3 und somit eine
> körpererweiterung vom grad 3 die galoissch ist, da N
> normalteiler ist.
> widerspruch zur angabe somit keine erweiterung vom grad
> 225.
>
> nun meine Frage:
> ist das bis hierhin soweit richtig und wie beweise ich
> dass s3 = 1 sein muss und nicht 25 sein kann??
>
> hab es über die anzahl der elemente versucht, klappt aber
> nicht w/ direktem Produkt vermute ich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Di 27.06.2006 | | Autor: | margit |
hallo dieter,
danke für die nette begrüßung.
ich dachte, dass wenn ich zwei normalteiler hab, ich das direkte produkt verwenden kann und dass aus dem direkten produkt die isomorphie zwischen G und Z9 x Z25 folgt und daraus wiederum abelsch???
mfg
margit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mi 28.06.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Margit!
> ich dachte, dass wenn ich zwei normalteiler hab, ich das
> direkte produkt verwenden kann und dass aus dem direkten
> produkt die isomorphie zwischen G und Z9 x Z25 folgt und
> daraus wiederum abelsch???
Erstens folgt aus G/N [mm] \cong [/mm] H nicht, daß G = H [mm] \times [/mm] N ist. Dann müßten H und N elementweise miteinander kommutieren. Es ist aber i. a. nur Rechtsnebenklasse = Linksnebenklasse.
Der 2. Kritikpunkt: Warum sollten die beiden Normalteiler Z9 und Z25 sein? Selbst wenn sie abelsch wären, müßte das nicht unbedingt sein. Es mag allerdings sein, daß Gruppen der Ordnung [mm] p^{2} [/mm] immer abelsch sind, daß weiß ich im Moment nicht. Was sagt der Hall dazu?
Versuch mal, sehr genau vorzugehen und jeden kleinsten Schritt selbst zu beweisen oder durch Zitat zu belegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mi 28.06.2006 | | Autor: | margit |
hallo dieter,
also es gibt einen satz der besagt, dass jede gruppe der ordnung [mm] p^2 [/mm] zyklisch ist, und dann einen weiteren der wiederum besagt, dass insbesondere zyklische gruppen abelsch sind.
mein problem besteht ja darin dass ich noch zeigen muss, dass s3 ein normalteiler ist. leider kann ich mit hilfe der sylowsätze nicht ausschließen kann, dass 25 3-sylows gibt. bin aber grad dabei mir einen homomorphismus auf die automorphismengruppe der 5-sylowgruppe zu definieren, es scheint als könnte dies klappen.
mfg
margit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
> hallo dieter,
>
> also es gibt einen satz der besagt, dass jede gruppe der
> ordnung [mm]p^2[/mm] zyklisch ist, und dann einen weiteren der
> wiederum besagt, dass insbesondere zyklische gruppen
> abelsch sind.
Gruppen der Ordnung [mm] p^{2} [/mm] sind in der Tat immer abelsch, aber sie sind keinesfalls immer zyklisch. Das einfachste Gegenbeispiel ist die Kleinsche Vierergruppe [mm] V_{4} \cong Z_{2} \times Z_{2}.
[/mm]
> mein problem besteht ja darin dass ich noch zeigen muss,
> dass s3 ein normalteiler ist. leider kann ich mit hilfe der
> sylowsätze nicht ausschließen kann, dass 25 3-sylows gibt.
> bin aber grad dabei mir einen homomorphismus auf die
> automorphismengruppe der 5-sylowgruppe zu definieren, es
> scheint als könnte dies klappen.
>
> mfg
>
> margit
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Do 29.06.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
dies ist (für mich) nur eine Teilantwort, da ich von Sylowgruppen nur weiß, dass sie existieren. Falls Du dir aber sicher bist, dass es nur eine 5-Sylowgruppe gibt, sie also normal ist, so folgt direkt, dass die dazu gehörige Teilerweiterung Normal über deinem Grundköper und als Teilerweiterung einer separablen Erweiterung auch Separabel ist.
Du hast also eine Galois-Teilerweiterung mit Galoisgruppe G/s5 also mit Grad 9. Da hast du in deiner Mitteilung etwas geschlampt, z.B. ist [mm] \IZ /3 \times \IZ /3 [/mm] eine nicht zyklische Gruppe der Ordnng 9. Richtig ist zumindest folgendes: Alle Orbiten in einer Gruppe der Ordnung [mm] p^k [/mm] unter der Operation durch Konjugation haben Ordnung [mm] p^\ell [/mm] mit [mm] \ell \le k [/mm]. Daher gibt es mindesten p orbiten der Ordnung 1, daher hat das Zentrum mindestens Ordnung p. Im Fall [mm] p^2 [/mm] folgt, dass die Gruppe von einem Element über dem Zentrum erzeugt wird, also abelsch ist. Daher folgt, wenn du eine Galoiserweiterung vom Grad 9 hast, hast du eine normale Untergruppe vom Grad 3, also auch eine Galoiserweiterung vom Grad 3.
Viele Grüße, ich hoffe das reicht
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Do 29.06.2006 | | Autor: | margit |
hallo peter,
danke für deine hilfe, ja es gibt nur eine 5-sylowuntergruppe da bin ich mir sicher. aber es gibt eintweder eine oder 25 3-sylowuntergruppen und ich muss zeigen dass es nur eine geben kann. hab dies aber jetzt mit einem homomorphismus auf die automorphismengruppe der 5-sylowuntergruppe hinbekommen.
mfg
margit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Do 29.06.2006 | | Autor: | PeterB |
>aber es gibt
> eintweder eine oder 25 3-sylowuntergruppen und ich muss
> zeigen dass es nur eine geben kann.
Aber Warum? Dass die Galoisgruppe [mm] G [/mm] von [mm] L/K [/mm] ein Produkt ist, brauchst du nur, wenn du willst, dass die Körpererweiterung eine Kompossition ist: [mm] L=L_1\cdot L_2 [/mm]. Ich dachte aber, es reicht dir hier, wenn du einen Zwischenkörper [mm] L^H [/mm] (die Invarianten unter H) hast, der normal ist. Und dafür brauchst du nur, eine normale Untergruppe H. Die Galoisgruppe von [mm] L^H/K [/mm] ist dann [mm] G/H [/mm], und das reicht hier doch.
Ich hoffe, dass ich mich nicht gerade zum Depp mache, aber ich denke, wenn du für [mm] H [/mm] deine 5-sylowgruppe nimmst, dann sollte das klappen.
Grüße
Peter
|
|
|
|
