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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 12.01.2011 | | Autor: | foxlacem |
| Aufgabe | Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse bei
-1. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse. Der Graph hat zusätzlich den Tiefpunkt T(0/-1). Wie lautet der Funktionsterm. |
Hi Leute ich weiß ich bin spät dran, aber ich schreibe morgen eine wichtige Matheklausur und bin allen ernstes nicht fähig solche eine einfache Aufgabe zu lösen. :( Ich wär super froh wenn mir jemand beistehen könnte.
Also zunächst ist mir bewusst, dass ich vier unbekannte variable hab und somit auch 4 Gleichungen aufstellen muss!
I. f(x=-1)=0
II. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse (kA wie die Bestimmung ist)
III. f'(x=0)=-1
IV. Auch hier hab ich erneut keine Ahnung, aber denke dass es was mit der Symmetrie sein könnte.
Also genauer gesagt ist meine Frage, wie erkenne ich die Bestimmung?
Lieber Gruß!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo foxlacem, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das ist aber eine seltene Aufgabe. Ehrlich.
> Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet
> die x-Achse bei
> -1. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse.
Deswegen nämlich. Dass der Graph die x-Achse schneidet, die aber zugleich Tangente sein soll, kann nur bei einem Sattelpunkt an dieser Stelle erfüllt sein. Es ist also f(-1)=f'(-1)=f''(-1)=0.
> Der Graph hat zusätzlich den Tiefpunkt T(0/-1). Wie lautet
> der Funktionsterm.
Damit ist die Funktion ja schon überbestimmt. Wir wissen damit folgendes:
f(0)=-1; f'(0)=0; f''(0)>0
> Hi Leute ich weiß ich bin spät dran, aber ich schreibe
> morgen eine wichtige Matheklausur und bin allen ernstes
> nicht fähig solche eine einfache Aufgabe zu lösen. :( Ich
> wär super froh wenn mir jemand beistehen könnte.
>
> Also zunächst ist mir bewusst, dass ich vier unbekannte
> variable hab und somit auch 4 Gleichungen aufstellen muss!
Stimmt. Ich habe aber eben schon 5 Gleichungen und eine Ungleichung aufgeschrieben. Schauen wir mal, was Du hast.
> I. f(x=-1)=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Entspricht meiner 1. Gleichung.
> II. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse (kA
> wie die Bestimmung ist)
Die x-Achse hat die Gleichung y=f(x)=0
Die Tangente hat also die Steigung 0, somit f'(-1)=0
Entspricht meiner 2. Gleichung.
Die dritte (f''(-1)=0) lassen wir mal vorerst weg. Sie kann aber noch zur Kontrolle dienen, denn sie muss ja auch erfüllt sein.
> III. f'(x=0)=-1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du meinst sicher f(0)=-1. Das entspricht meiner 4. Gleichung.
Hier geht es um den Punkt selbst, also den Funktionswert an der Stelle x=0.
> IV. Auch hier hab ich erneut keine Ahnung, aber denke dass
> es was mit der Symmetrie sein könnte.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Versteh ich nicht. Die Information "Tiefpunkt" muss ja noch ausgewertet werden, also wenigstens so:
f'(0)=0
Und das entspricht dann meiner 5. Gleichung.
> Also genauer gesagt ist meine Frage, wie erkenne ich die
> Bestimmung?
So, mit den hier erst einmal vorliegenden vier Gleichungen (eine hatten wir ja beiseite gelegt) musst Du erstmal die allgemeine Formulierung einer Funktion 3. Grades notieren und ihre 1. Ableitung finden. Damit kommst Du dann auf vier lineare Gleichungen für die Koeffizienten a,b,c,d - oder wie immer Du sie nennen willst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mi 12.01.2011 | | Autor: | foxlacem |
Okay!
Soweit alles klar. Ich habe die Aufgabe nun weiterverfolgt und würde gerne wissen ob ich zu einem richtigen Ergebnis stoße oder irgendwo doch einen Fehler habe (Wahrscheinlichkeit: 99%) :D.
Also hier mein Ansatz:
I. f(-1)= 0
II. f’(-1)= 0
III. f(0)= -1
IV. f’(0)= 0
I. f(-1)=0=-1a³-1b²-1c+d --> -a-b-c+d=0
II. f'(-1)=0=3a*0²+2b*0+c -->c=0
III. f (0)=-1=a0³+b0²+c0+d --> d=-1
IV. f' (0)=0=3a*0²+2b*0+c (oder + 0 in dem Fall?) -->c=0
Ich versteh nun auch nicht wie es weitergehen soll?
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Hallo nochmal,
> Okay!
>
> Soweit alles klar. Ich habe die Aufgabe nun weiterverfolgt
> und würde gerne wissen ob ich zu einem richtigen Ergebnis
> stoße oder irgendwo doch einen Fehler habe
> (Wahrscheinlichkeit: 99%) :D.
Tja, so ist das Leben. Nobody is perfect.
> Also hier mein Ansatz:
>
> I. f(-1)= 0
> II. f’(-1)= 0
> III. f(0)= -1
> IV. f’(0)= 0
Soweit korrekt.
> I. f(-1)=0=-1a³-1b²-1c+d --> -a-b-c+d=0
Nicht doch. Die Koeffizienten a und b werden nicht in eine Potenz erhoben.
In die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt ergibt sich doch:
[mm] 0=a*(-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+d=-a\blue{+}b-c+d
[/mm]
> II. f'(-1)=0=3a*0²+2b*0+c -->c=0
Auch nicht. Die Ableitung scheinst Du richtig gebildet zu haben:
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
Eingesetztfür x=-1 und f'(-1)=0 also:
[mm] f'(-1)=0=3a\blue{(-1)}^2+2b*\blue{(-1)}+c=3a-2b+c
[/mm]
> III. f (0)=-1=a0³+b0²+c0+d --> d=-1
Das stimmt!
> IV. f' (0)=0=3a*0²+2b*0+c (oder + 0 in dem Fall?) -->c=0
Nein, +c ist schon richtig, und c=0 stimmt in der Tat auch.
Du verwechselst x und f(x), da musst Du aufpassen. Außerdem werden die Koeffizienten der allgemeinen Funktionsgleichung in solchen Aufgaben eigentlich niemals potenziert. Das sollte sofort ein Warnsignal sein. Am besten ist wirklich, Du schreibst erstmal die allgemeine Funktionsgleichung (also mit x) hin, genauso bei der Ableitung, und setzt dann die vorliegende x-Werte genau ein, auch wenn das mehr Schreibarbeit ist. Dafür ist es nicht so fehlerträchtig.
Jetzt hast Du ein lineares Gleichungssystem. c=0 und d=-1 sind schon bekannt, bleiben also nur noch zwei Gleichungen (diese Werte schon eingesetzt und die Parameter/Koeffizienten also eliminiert):
I) -a+b=1
II) 3a-2b=0
Das sollte doch zu lösen sein.
Grüße
reverend
PS: Übrigens hilft Schlafen vor Mathearbeiten auch ganz erheblich zum Erfolg. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Do 13.01.2011 | | Autor: | foxlacem |
Also erstmal ein großes Dankeschön an dich! Vor allem so kurzfristig noch Hilfe gefunden zu haben!
Back 2 topic:
Nun habe ich wie schon vorhin von dir beschrieben 2 Gleichungen:
i) -a+b=1
ii) 3a-2b=0
i) b-1=a
i) in ii) einsetzen:
ii) 3b-3-2b=0
ii) b=3
Folge -> a=2
Somit lautet meine Funktion:
[mm] 2x^3+3x^2-1
[/mm]
?
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Hallo nochmal,
habe mich gerade woanders festgelesen...
> Also erstmal ein großes Dankeschön an dich! Vor allem so
> kurzfristig noch Hilfe gefunden zu haben!
> Back 2 topic:
>
> Nun habe ich wie schon vorhin von dir beschrieben 2
> Gleichungen:
>
> i) -a+b=1
> ii) 3a-2b=0
>
> i) b-1=a
>
> i) in ii) einsetzen:
>
> ii) 3b-3-2b=0
> ii) b=3
>
>
>
> Folge -> a=2
>
> Somit lautet meine Funktion:
>
> [mm]2x^3+3x^2-1[/mm]
>
> ?
Ja, das gibt das Gleichungssystem so her.
Das Problem entsteht jetzt aber leider bei der bisher ausgelassenen Gleichung, die nämlich nicht erfüllt ist.
Vielleicht hab ich ja einen Denkfehler.
Den finde ich jetzt aber wohl nicht mehr, bin auch gerade abgelenkt.
Richtig gerechnet hast Du jedenfalls.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Do 13.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet
> die x-Achse bei
> -1. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse.
> Der Graph hat zusätzlich den Tiefpunkt T(0/-1). Wie lautet
> der Funktionsterm.
> Hi Leute ich weiß ich bin spät dran, aber ich schreibe
> morgen eine wichtige Matheklausur und bin allen ernstes
> nicht fähig solche eine einfache Aufgabe zu lösen. :( Ich
> wär super froh wenn mir jemand beistehen könnte.
>
> Also zunächst ist mir bewusst, dass ich vier unbekannte
> variable hab und somit auch 4 Gleichungen aufstellen muss!
>
> I. f(x=-1)=0
>
> II. Die Tangente in diesem Schnittpunkt ist die x-Achse (kA
> wie die Bestimmung ist)
>
> III. f'(x=0)=-1
>
> IV. Auch hier hab ich erneut keine Ahnung, aber denke dass
> es was mit der Symmetrie sein könnte.
>
> Also genauer gesagt ist meine Frage, wie erkenne ich die
> Bestimmung?
>
>
> Lieber Gruß!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Bei [mm]x=-1[/mm] und [mm]x=0[/mm] verschwindet also die erste Ableitung, welche eine ganzrationale Funktion 2. Gerades sein muss: [mm]f'(x)=a*(x+1)*x=ax^2+ax[/mm]. Die gesuchte Funktion muss also die Form [mm]f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{a}{2}x^2+b[/mm] haben. Bie [mm]x=0[/mm] soll -1 herauskommen, was [mm]b=-1[/mm] ergibt. Bei [mm]x=-1[/mm] soll null herauskommen, was [mm]0=-\frac{a}{3}+\frac{a}{2}-1[/mm] oder [mm]a=6[/mm] ergibt: [mm]f(x)=2x^3+3x^2-1[/mm].
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