ganzzahlige Lösungen eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Do 16.07.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
ich soll alle ganzzahligen Lösungen [mm] (x_1,x_2,x_3) \in Z^3 [/mm] des linearen Gleichungssystems
(1) [mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 4
(2) [mm] 5x_1 [/mm] + [mm] 6x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 8
bestimmen.
Dazu habe ich erstmal alle ganzzahligen Lösungen der einzelnen Gleichungen bestimmt:
(1) L = (3,-1,1) + r(1,1,-1) + s(3,0,-1) ; r,s [mm] \in [/mm] Z
(2) L = (-1,1,1) +p(7,-7,1) + q(0,-7,6) ; p,q [mm] \in [/mm] Z
Aber was muss ich jetzt tun? Kann mir jemand einen Algorithmus zeigen, wie ich vorgehen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Do 16.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich soll alle ganzzahligen Lösungen [mm](x_1,x_2,x_3) \in Z^3[/mm]
> des linearen Gleichungssystems
> (1) [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 4
> (2) [mm]5x_1[/mm] + [mm]6x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] = 8
> bestimmen.
> Dazu habe ich erstmal alle ganzzahligen Lösungen der
> einzelnen Gleichungen bestimmt:
> (1) L = (3,-1,1) + r(1,1,-1) + s(3,0,-1) ; r,s [mm]\in[/mm] Z
> (2) L = (-1,1,1) +p(7,-7,1) + q(0,-7,6) ; p,q [mm]\in[/mm] Z
> Aber was muss ich jetzt tun? Kann mir jemand einen
> Algorithmus zeigen, wie ich vorgehen muss?
Hallo,
reduziere erst mal die Anzahl der Gleichungen und Variablen.
Du hast im Moment 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Durch Umstellen einer Gleichung (z.B. nach [mm] x_1) [/mm] und Einsetzen dieser Variablen in die 2. Gleichung erhältst du nur noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten. Erst dann solltest du dir Gedanken über die Ganzzahligkeit machen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 16.07.2009 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank, ich glaub ich habs:
spezielle Lösung ist (-1,1,1), homogene Lösung (-1,2,-1). Hab ein paar Proben gemacht und das hat geklappt.
Mein Lösungsweg: ich habe - wie du vorgeschlagen hast - die erste Gleichung nach [mm] x_1 [/mm] aufgelöst und in die zweite eingesetzt. Dann habe ich eine spezielle Lösung für [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] bestimmt und das in die erste Gleichung eingesetzt um [mm] x_1 [/mm] zu berechnen. Ebenso bin ich vorgegangen um die homogene Lösung zu bestimmen. Ist das richtig so?
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