gauß'sche zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Do 25.03.2010 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | Skizzieren Sie in der Gauß'schen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft
[mm] |\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\overline{z}}| \le [/mm] 1 |
Ich weiß, dass z eine komplexe Zahl ist, die ich durch x+iy ersetzen kann und [mm] \overline{z} [/mm] ihre konjugiert komplexe Zahl durch x-iy zu ersetzen ist:
[mm] |\bruch{1}{x+iy} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-iy}| \le [/mm] 1
jetzt könnte ichs noch auf einen nenner bringen und wäre bei
[mm] |\bruch{2x}{x^{2}+y^{2}}| \le [/mm] 1
aber was ich damit jetzt anfange und wie ich das in der Gauß'schen Zahlenebene darstelle, weiß ich nicht.
Hoffe, ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]|\bruch{2x}{x^{2}+y^{2}}| \le[/mm] 1
>
> aber was ich damit jetzt anfange und wie ich das in der
> Gauß'schen Zahlenebene darstelle, weiß ich nicht.
Lös es mal nach y auf. Zuerst für x>0, dann für x<0.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 25.03.2010 | | Autor: | trulla |
ich habe nun versucht, das nach y umzustellen und komme meiner meinung nach auf
für x>0:
[mm] y\ge \pm\wurzel{-x^{2}+2x}
[/mm]
für x<0
y [mm] \le \pm\wurzel{x^{2}+2x}
[/mm]
stimmt das? wenn ja, wie stelle ich das in der gaußschen zahlenebene dar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 25.03.2010 | | Autor: | Blech |
> ich habe nun versucht, das nach y umzustellen und komme
> meiner meinung nach auf
>
> für x>0:
> [mm]y\ge \pm\wurzel{-x^{2}+2x}[/mm]
Das stimmt so nicht.
1.:
[mm] $a^2 \geq b^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ a\geq [/mm] b$ oder [mm] $a\leq [/mm] -b$
2.:
Das gilt alles nur für [mm] $x\leq [/mm] 2$. Für $x>2$ ist y beliebig.
>
> für x<0
> y [mm]\le \pm\wurzel{x^{2}+2x}[/mm]
Ebenso.
> stimmt das? wenn ja, wie stelle ich das in der gaußschen
> zahlenebene dar?
[mm] $\wurzel{-x^{2}+2x}= \wurzel{x(2-x)}$
[/mm]
Das ist der obere Halbkreis mit Radius 1 um den Mittelpunkt 1.
Für x>0, [mm] $y\geq [/mm] 0$ gilt also:
Zulässig für y sind alle Werte, sofern [mm] $x\geq [/mm] 2$, und alle Werte auf und oberhalb des Halbkreises sofern $0<x< 2$.
Wenn Du oben nochmal sorgfältig rechnest, siehst Du, daß es sich für die 3 anderen Quadranten spiegelbildlich genauso verhält.
D.h. wir haben die gesamte Zahlenebene mit zwei offenen (da [mm] $\geq$ [/mm] bzw. [mm] $\leq$) [/mm] Kreisen (und dem Ursprung) ausgeschnitten.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Weg:
Aus $ [mm] |\bruch{2x}{x^{2}+y^{2}}| \le [/mm] $ 1 folgt:
[mm] $x^2-2|x|+y^2 \ge [/mm] 0$
Quadratische Ergänzung liefert:
[mm] $x^2-2|x|+1+y^2 \ge [/mm] 1$
oder (wegen [mm] $x^2= |x|^2)
[/mm]
(*) $ [mm] (|x|-1)^2+y^2 \ge [/mm] 1$
Fall 1: $x [mm] \ge [/mm] 0$. (*) liefert dann: $ [mm] (x-1)^2+y^2 \ge [/mm] 1$
Setze [mm] $M_1:= \{ (x,y): x \ge 0, (x-1)^2+y^2 \ge 1 \}$
[/mm]
Kannst Du [mm] M_1 [/mm] skizzieren ?
Fall 2: $x < 0$. (*) liefert dann: $ [mm] (x+1)^2+y^2 \ge [/mm] 1$
Setze [mm] $M_2:= \{ (x,y): x < 0, (x+1)^2+y^2 \ge 1 \}$
[/mm]
Kannst Du [mm] M_2 [/mm] skizzieren ?
Skizzieren sollst Du: [mm] $M_1 \cup M_2$
[/mm]
FRED
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