gaußscher Zahlenring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Do 26.05.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige:
[mm] $\mathbb{Z}[i]^{*} [/mm] = [mm] \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} [/mm] = [mm] \{1,-1,i,-i\},$ [/mm] wobei [mm] $N(\alpha)$ [/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als Abbildung [mm] $\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z} [/mm] $ |
(Wenn in der Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte "Z von i stern stehen, also die Menge aller Einheiten...)
Beweisidee:
Da die Norm ein Homomorphismus ist, gilt:
$1 = xy [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] N(\alpha\beta) [/mm] = [mm] N(\alpha)N(\beta) \Rightarrow N(\alpha) N(\beta) [/mm] = 1.$ Da wir uns im Bereich der natürlichen Zahlen bewegen, muss zwangsläufig nun [mm] $N(\alpha) [/mm] = [mm] N(\beta) [/mm] = 1$ folgen. Es ist nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) möglich ist, wenn [mm] $\beta [/mm] = 1, -1, i$ oder $- i$ ist.
Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne "Beweis durch Überreden" führen zu müssen? (Oder ist es so klar, dass man es gar nicht mehr weiter logisch zerlegen kann??)
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Hallo clemenum,
> Man zeige:
> [mm]\mathbb{Z}[i]^{*} = \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} = \{1,-1,i,-i\},[/mm] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]wobei N(\alpha)[/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]Abbildung \mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}[/mm][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i] (Wenn in der [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i]Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte " z="" von="" i="" [="" i]"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%2524%24$">">%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5DAngabe%20nicht%20klar%20erischtlich%20-%20ganz%20links%20sollte%20$" i]"="">[/i][/i][/mm]
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es ist [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) [/mm][/mm]
> [mm][i][i][i]möglich ist, wenn \beta = 1, -1, i[/mm] oder [mm]- i[/mm] ist. [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][i]Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne " beweis="" [="" i]"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$">%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5DWie%20kann%20ich%20nun%20aber%20letzteres%20formal%20zeigen%20ohne%20[/mm][mm][i][i][i]durch Überreden" führen="" zu="" müssen?="" (oder="" ist="" es="" so="" klar,="" [="" i]$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5Ddurch%20%C3%9Cberreden$" i]"="">"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cspan%20class%3D$"math">![$%5Bi%5D%5Bi%5D%5Bi%5Ddurch%20%C3%9Cberreden[/mm]](http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%3Cspan%20class%3D$)
Nun, sei <span class="math"><img class="latex" _cke_realelement="true" [mm] alt="$\alpha=a+bi, a,b\in\IZ[/mm], [/mm] was ist dann [mm]N(\alpha)[/mm] ?
Doch [mm]=a^2+b^2[/mm]
Löse also [mm]a^2+b^2=1[/mm].
Wegen [mm]a^2,b^2\ge 0[/mm], kommen nur in Frage ...
Gruß
schachuzipus
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> Man zeige:
> [mm]\mathbb{Z}[i]^{*} = \{\alpha \in \mathbb{Z}[i] : N(\alpha) = 1 \} = \{1,-1,i,-i\},[/mm] [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]wobei [mm]N(\alpha)[/mm] die dortig übliche Norm darstellt - als [/i][/i][/mm]
> [mm][i][i]Abbildung [mm]\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}[/mm][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] (Wenn in der [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Angabe nicht klar erischtlich - ganz links sollte "Z von i [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]stern stehen, also die Menge aller Einheiten...) [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i][/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Beweisidee:[/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] Da die Norm ein Homomorphismus ist, gilt:[/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i] [mm]1 = xy \Rightarrow 1 = N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta) \Rightarrow N(\alpha) N(\beta) = 1.[/mm] [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Da wir uns im Bereich der natürlichen Zahlen bewegen, muss [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]zwangsläufig nun [mm]N(\alpha) = N(\beta) = 1[/mm] folgen. Es ist [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]nun aber intuitiv einleuchtend, dass letzteres nur (dann) [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]möglich ist, wenn [mm]\beta = 1, -1, i[/mm] oder [mm]- i[/mm] ist. [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]Wie kann ich nun aber letzteres formal zeigen ohne "Beweis [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]durch Überreden" führen zu müssen? (Oder ist es so klar, [/i][/mm][/i][/i][/mm]
> [mm][i][i][mm][i]dass man es gar nicht mehr weiter logisch zerlegen kann??) [/i][/mm][/i][/i][/mm]
Hallo clemenum,
1.) warum stellst du deinen Beitrag so eigenartig
dar, und erst noch auf mühsame Weise, dass man ihn
bei Bearbeitung kaum mehr lesen kann ?
2.) was meinst du mit der "dortig üblichen Norm"
(also in der Menge der gaußschen ganzen Zahlen) ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Do 26.05.2011 | | Autor: | clemenum |
Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale Darstellung.
Ich meine natürlich $N(x+iy) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = (x+iy)(x-iy) = [mm] |x+iy|^2$ [/mm] (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)
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Hallo nochmal,
> Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung
> so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale
> Darstellung.
Ja, du hast irgendwie zuviele [ i ] - tags benutzt, da ist beim Zitieren alles in die Hose gegangen!
>
> Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)
Ja, und welche Lösung hat dann [mm] $x^2+y^2=1$?
[/mm]
Beachte, dass Wegen [mm] $\alpha=x+iy\in\IZ[i]$ [/mm] gilt: [mm] $x,y\in\IZ$
[/mm]
Rechne das aus !
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Do 26.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bei Schachuzipus seiner Antwort ist leider die Darstellung
> so seltsam geworden! Bei mir sehe ich eine normale
> Darstellung.
Das Problem ist, wenn man [i] in einer Formel verwendet, die mit $...$ ausgezeichnet wird. (Also etwa in $\IZ[i]$.) Sobald man sowas zitieren moechte, geht es schief.
Das ist leider ein schon ziemlich lang vorhandener und ziemlich anstrengender Bug des Forums...
LG Felix
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> Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)
In meiner Schule war bei der Norm komplexer Zahlen
noch eine Quadratwurzel beteiligt.
Wenn du als "Norm" N tatsächlich [mm] N(x+iy)=x^2+y^2 [/mm] nehmen
willst, dann hat diese den schwerwiegenden Mangel, dass sie
die von einer "Norm" erwartete Dreiecksungleichung
$\ [mm] N(z+w)\le [/mm] N(z)+N(w)$
nicht immer erfüllt !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 26.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al!
> > Ich meine natürlich [mm]N(x+iy) = x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy) = |x+iy|^2[/mm]
> > (die Norm also, die man schon von der Schule her kennt...)
>
> In meiner Schule war bei der Norm komplexer Zahlen
> noch eine Quadratwurzel beteiligt.
Hier handelt es sich aber um die ![[]](/images/popup.gif) "natuerliche" Norm einer endlichen Koerpererweiterung $L/K$ (mit $L = [mm] \IQ(i)$, [/mm] $K = [mm] \IQ$): [/mm] man fasst ein Element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ als $K$-Vektorraum-Homomorphismus $x [mm] \mapsto \alpha [/mm] x$ von $L$ auf, und nimmt die Determinante dessen. Das ist dann [mm] $N_{L/K}(\alpha)$, [/mm] und die so erhaltende Funktion [mm] $N_{L/K} [/mm] : L [mm] \to [/mm] K$ nennt sich Norm.
Und da [mm]\IZ[i[/mm]$ der ganze Abschluss von [mm] $\IZ$ [/mm] in [mm] $\IQ(i)$ [/mm] ist, schraenkt sich die Norm auf eine Funktion [mm]N : \IZ[i] \to \IZ[/mm] ein -- hier sogar mit Bild [mm] $\IN$.
[/mm]
> Wenn du als "Norm" N tatsächlich [mm]N(x+iy)=x^2+y^2[/mm] nehmen
> willst, dann hat diese den schwerwiegenden Mangel, dass
> sie
> die von einer "Norm" erwartete Dreiecksungleichung
>
> [mm]\ N(z+w)\le N(z)+N(w)[/mm]
>
> nicht immer erfüllt !
Bei der Norm von (endlichen) Koerpererweiterungen hat man im allgemeinen gar keinen angeordneten Koerper, insofern kuemmert man sich nicht um die Dreiecksungleichung. :)
Viel wichtiger ist, dass das Bild von [mm]N(\IZ[i])[/mm] in [mm] $\IZ$ [/mm] enthalten ist: damit kann man zahlentheoretische Eigenschaten aus [mm]\IZ[i][/mm] auf Eigenschaften von [mm] $\IZ$ [/mm] zurueckfuehren.
LG Felix
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