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Forum "Ganzrationale Funktionen" - gebrochen rationale Funktionen
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gebrochen rationale Funktionen: Kettenregel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Do 17.01.2008
Autor: Ailien.

Aufgabe
1. Differenziere nach der Kettenregel     f(x)=sin(4x+5)
2. Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.     f(x)=(2x³+1)² und [mm] f(x)=\wurzel{1/2x+1} [/mm]
3. Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion f,    f(x)=(2x-5)³

Hallo Leute, wir haben das Thema neu angefangen und ich bin mir mit meinen Ergebnissen nicht sicher...Hier meine Ideen:

zu 1) f(x)=sin(4x+5)
         f´(x)=cos(4)

zu 2) f(x)=(2x³+1)²
         f´(x)=2*(6x²)

bei der zweiten Funktion habe ich keine Ahnung, weil ch nicht wess, wie ich von der äußeren Funktion,also von der Wurzel die Ableitung bilde?!

zu 3) f(x)=(2x-5)³
        f´(x)=3* (2x)
        f´´(x)=2


Ich habe mich immer nach der Regel "äußere Ableitung mal innere Ableitung" gerichtet, d.h. immer 2 Ableitungen gebildet und die multipliziert. Ist das soweit richtig oder mache ich etwas falsch?
Danke im Voraus! Ailien,
        
Bezug
gebrochen rationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Do 17.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo Ailien

> 1. Differenziere nach der Kettenregel     f(x)=sin(4x+5)
>  2. Bestimme die Ableitung mithilfe der Kettenregel.    
> f(x)=(2x³+1)² und [mm]f(x)=\wurzel{1/2x+1}[/mm]
>  3. Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion f,
>    f(x)=(2x-5)³
>  Hallo Leute, wir haben das Thema neu angefangen und ich
> bin mir mit meinen Ergebnissen nicht sicher...Hier meine
> Ideen:
>  
> zu 1) f(x)=sin(4x+5)
>           f´(x)=cos(4)

Das ist leider nicht richtig. Die Kettenregel lautet f´(x)=u´(v(x))*v´(x). Also musst du schauen welche deine äußere Funktion und welche deine innere Fkt ist. Ich mache dir das mal vor:
Sei f(x)=sin(4x+5)
u(x)=sin(x)
u´(x)=cos(x)
v(x)=4x+5
v´(x)=4
Und jetzt nach der Kettenregel zusammenfassen ergibt das: f´(x)=cos(4x+5)*4=4cos(4x+5) :-)
>  
> zu 2) f(x)=(2x³+1)²
>           f´(x)=2*(6x²)

Auch das ist leider nicht richtig!
u(x)=x²
u´(x)=2x
v(x)=2x³+1
v´(x)=6x
Versuch es jetzt mal alleine die kettenregel anzuwenden. Du kannst dein ergebnis auch überprüfen indem du die (2x³+1)² auflöst und dann gliedweise ableitest dann siehst du das dein ergebnis nicht stimmen kann
>  
> bei der zweiten Funktion habe ich keine Ahnung, weil ch
> nicht wess, wie ich von der äußeren Funktion,also von der
> Wurzel die Ableitung bilde?!

Es ist [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}x+1} [/mm]
[mm] u(x)=\wurzel{x} [/mm]
u´(x)=?
[mm] v(x)=\bruch{1}{2}x+1 [/mm]
v´(x)=?
>  
> zu 3) f(x)=(2x-5)³
>          f´(x)=3* (2x)
>          f´´(x)=2

Das ist das selbe wie die 2 Aufgabe :-)
>  
>
> Ich habe mich immer nach der Regel "äußere Ableitung mal
> innere Ableitung" gerichtet, d.h. immer 2 Ableitungen
> gebildet und die multipliziert. Ist das soweit richtig oder
> mache ich etwas falsch?

Ja denn die kettenregel lautet NICHT äußere mal innere Ableitung. sondern wie oben erwähnt. Du leitest die äußere Funktion ab und verkettest sie mit der inneren und das multiplizierst du dann mit der ableitung der inneren Funktion. In worten ist das sehr schwer zu beschreiben in formeln ist das viel einfacher und übersichtlicher ;-) alsi schaue dir noch mal die formel der kettenregel an die ich dir gegeben habe und wende die auf deine aufgaben an dann kannst du gerne deine ergebnisse noch mal präsentieren und wir schauen dann ob es dir noch schwer fällt und korriegeren wenn nötig :-)

>  Danke im Voraus! Ailien,

[cap] Gruß

Bezug
        
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gebrochen rationale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Do 17.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Übrigens die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] :-)
Das kannst du auch selber ganz einfach überprüfen denn es gilt doch [mm] \wurzel{x}=x^{\bruch{1}{2}} [/mm] und davon die ableitung ist [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]

[cap]
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gebrochen rationale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 17.01.2008
Autor: Ailien.

Ist dann bei der zweiten Aufgabe mit f(x)=(2x³+1)² die Ableitung f´(x)= 2x*2x³+1*6x oder muss ich das "x" bei 2x schon durch v(x) ersetzen?
Grüße
Bezug
                        
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gebrochen rationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Do 17.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

> Ist dann bei der zweiten Aufgabe mit f(x)=(2x³+1)² die
> Ableitung f´(x)= 2x*2x³+1*6x oder muss ich das "x" bei 2x
> schon durch v(x) ersetzen?

Ja
>  Grüße

f(x)=(2x³+1)²
u(x)=x²
u´(x)=2x
v(x)=2x³+1
v´(x)=6x
Also gilt: f´(x)=2(2x³+1)*6x=12x(2x³+1)

[cap] Gruß

Bezug
                                
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gebrochen rationale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mi 23.01.2008
Autor: Jay-Jay


>
> f(x)=(2x³+1)²
>  u(x)=x²
>  u´(x)=2x
>  v(x)=2x³+1
>  v´(x)=6x
>  Also gilt: f´(x)=2(2x³+1)*6x=12x(2x³+1)
>  
> [cap] Gruß
>  

Hab dazu eine Frage. Wenn v(x)=2x³+1 , dann ist doch v'(x)=6x² und NICHT 6x oder?
insgesamt wäre dann f'(x)=12x²(2x³+1)
Bezug
                                        
Bezug
gebrochen rationale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Mi 23.01.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Natürlich du hast recht: f'(x)=12x²(2x³+1) [ok]

[cap] Gruß
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