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Ich hätte gerne gewusst wie ich bei dieser Aufgabe die Lücke schließe.
f(x)= [mm] x^3+x^2-6x
[/mm]
[mm] 2x^2-8
[/mm]
Man denke sich bitte einen Bruchstrich
Ich habe jetzt eine Lücke bei 2
Wie kann ich diese Lücke mit dem Limes beheben?
Vielen Dank schon einmal im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Patterson
Willkommen im Matheraum! 
> Ich hätte gerne gewusst wie ich bei dieser Aufgabe die
> Lücke schließe.
>
> f(x)= [mm] x^3+x^2-6x
[/mm]
> [mm] 2x^2-8
[/mm]
> Man denke sich bitte einen Bruchstrich
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> Ich habe jetzt eine Lücke bei 2
>
> Wie kann ich diese Lücke mit dem Limes beheben?
>
> Vielen Dank schon einmal im vorraus.
>
Also, die Lücke soll geschlossen werden! Und erst noch mit dem Limes? Ich denke, damit will man ausdrücken, dass durch das Schliessen der Lücke die Funktion an der Stelle $x=2$ stetig sein soll.
Dazu müsste die Funktion also gegen einen bestimmten Grenzwert streben, wenn man den x-Wert in die Nähe der Definitionslücke, also $x=2$ rückt.
Dies könnte also so gemacht werden: Setzte x in die Nähe von $2$ und untersuche, was mit der Funktion geschieht, wenn man mit $x$ immer näher und näher an die $2$ herangeht.
Am bessten lässt sich das wahrscheinlich so realisieren:
Setze $x:=2+h$.
Damit ist $x$ um den Wert $h$ von der $2$ entfernt. Zu untersuchen ist also, wohin läuft der Funktionswert, wenn an Stelle von $x$ der Ausdruck $x+h$ eingesetzt wird, und dann $h$ ganz ganz winzig klein gemacht wird.
(Dabei sollte auch berücksichtigt werden, dass h negativ oder positiv sein kann; manchmal ergeben sich unterschiedliche Grezwerte (links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert))
Also ans Werk: in der Funktion x+h eingesetzt
Die Funktion sieht dann wohl so aus:
[mm]\bruch{(2+h)^{3}+(2+h)^{2}-6(2+h)}{2(2+h)^{2}-8}[/mm]
Jetzt kannst du Zähler und Nenner ausmultiplizieren, hoffentlich einmal mit $h$ kürzen und nach dem Kürzen $h=0$ einsetzen.
Versuchst du es mal, bitte? Und melde dich dann wieder mit dem Resultat oder weiteren Fragen dazu!
Uebrigens: bei diesem Lösungsansatz habe ich stillschweigend angenommen, dass dir die "Regel von De l' Hôpital" nichts sagt. Stimmt diese Annahme?
Uebrigens: wenn du auf den Bruch klickst, dann siehst du, wie dieser erzeugt worden ist. Auch diese einfachere Beispiel:
[mm]y = \bruch{x^2}{7}[/mm]
Liebe Grüsse
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Mir hat ein Mitschüler die Lösung per E-mail geschickt. Dieser weiss jedoch
auch nicht wie der Lehrer darauf gekommen ist.
Lim [mm] x^3+x^2-6x [/mm] = Lim x(x-2)*(x+3) = 2*(2+3) = 10 = 1,25
[mm] 2x^2-8 [/mm] x -> 2 2*(x+2)*(x-2) 2*(2+2) 8
Kann mir einer sagen wir der Lehrer darauf gekommen ist?
@ Paulus vielen Dank für deinen Hilfe doch es hat mich nicht wirklich weitergebracht
Man muss sich wieder Bruchstriche denken.
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Hallo Nils,
bei dieser Lösung hat der Lehrer wohl Zähler und Nenner faktorisiert, das heißt in einzelne Faktoren umgewandelt.
> Mir hat ein Mitschüler die Lösung per E-mail geschickt.
> Dieser weiss jedoch
> auch nicht wie der Lehrer darauf gekommen ist.
>
> Lim [mm] x^3+x^2-6x [/mm] = Lim x(x-2)*(x+3) = 2*(2+3) =
> 10 = 1,25
> [mm] 2x^2-8 [/mm] x -> 2 2*(x+2)*(x-2) 2*(2+2)
> 8
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> Kann mir einer sagen wir der Lehrer darauf gekommen ist?
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> @ Paulus vielen Dank für deinen Hilfe doch es hat mich
> nicht wirklich weitergebracht
>
> Man muss sich wieder Bruchstriche denken.
>
[mm] $\bruch {x^3+x^2-6x}{2x^2.8}$ [/mm]
Zunächst mal der Zähler:
man kann x ausklammern:
[mm] $x*(x^2+x-6) [/mm] = x*(x-2)*(x+3)$
Beim Nenner klammerst du 2 aus und löst die Klammer mit dem 3. binomischen Lehrsatz auf:
[mm] $2(x^2-4) [/mm] = 2 ( x-2)(x+2)$
Du siehst, im Zähler und im Nenner taucht der Faktor (x-2) auf; durch den darfst du kürzen, solange $x [mm] \ne [/mm] 2$ ist:
[mm] $\bruch [/mm] {x*(x-2)*(x+3)}{2 ( x-2)(x+2)}$ = [mm] $\bruch [/mm] {x*(x+3)}{2(x+2)}$
Die beiden Brüche ergeben für alle x [mm] \ne [/mm] 2 identische Werte, links darf man nur nicht x=2 einsetzen.
Im rechten Term darfst du aber auch x = 2 einsetzen, weil jetzt ja der Nenner nicht mehr null wird.
[mm] $\bruch{10}{8} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {5}{4}$, wie von deinem Lehrer behauptet.
Man sagt, dass die Funktion, die sich durch das Kürzen ergibt, die stetige Fortsetzung der ersten Funktion ist, die an der Stelle x=2 eine Lücke hat.
Reicht das jetzt als Erklärung? Sonst frage einfach nochmal nach.
Ich geh' jetzt aber ins Bett 
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