gedämpfte Schwingung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Betrachten Sie die DGL [mm] \overset{\cdot\cdot}{\varphi}(t)+3H\overset{\cdot}{\varphi}(t)+m^{2}\varphi(t). [/mm]
(1) Sei H konstantm, mit [mm] H=\frac{2}{3t_0}, t_0>0. [/mm] Für welche m(>0) existieren Lösungen mit Schwingungen?
(2) Sei H eine Funktion der Zeit, [mm] H=\frac{2}{3t},t>0. [/mm] Substituieren Sie [mm] \varphi=x/t. [/mm] Welche DGL erfüllt x? Für welche m gibt es Schwingungen? |
Hallo,
ich hab in (1) versucht die DGL zu lösen un [mm] \varphi(t) [/mm] zu bestimmen.
Dann wollte ich das Ergebnis =0 setzen und gucken für welche m dies zutrifft. Ich weiß nicht, ob man das hier überhaupt machen muss.
Trotzdem mal meine Lösung (die mehr auch sehr komisch vorkommt):
[mm] \varphi(t)=C_{1}\mbox{exp}\left(\left(-\frac{1}{t_{0}}+\sqrt{\frac{1}{t_{0}^{2}}-m^{2}}\right)t\right)+C_{2}\mbox{exp}\left(\left(-\frac{1}{t_{0}}-\sqrt{\frac{1}{t_{0}^{2}}-m^{2}}\right)x\right).
[/mm]
Ich bin darauf gekommen mit dem Ansatz [mm] \varphi(t)=e^{rt}.
[/mm]
Stimmt das wenigstens?
Bei (2) weiß ich garnicht, wie die DGL in Abhängigkeit von x aussehen soll. [mm] \varphi [/mm] hängt doch von t ab. Aber wovon hängt dann x ab? Wie muss ich die DGL aufstellen, sodass ich sie lösen kann?
Gruß Unk
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Hallo!
Deine Lösung zu der 1) schaut vollkommen OK aus.
Du solltest nun wissen, daß der Teil unter der wurzel auch negativ werden kann, dann ist die e-Funktion teilweise imaginär. Und grade das willst du, denn per Definition gilt [mm] {e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)} [/mm] . Und das ist eine Schwingung.
Wenn das unter der Wurzel nicht negativ ist, wie sieht die Bewegung denn dann zeitlich aus?
Zu 2: Etwas ausführlicher sollst du [mm] \phi(t)=\frac{x(t)}{t} [/mm] stubstituieren. Kommst du damit weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:53 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
Ok. Ich habe dann einfach weiter berechnet:
[mm] \dot{\varphi}(t)=\frac{\overset{\cdot}{\chi}(t)t-\chi(t)}{t^{2}} [/mm] und [mm] \overset{\cdot\cdot}{\varphi}(t)=\frac{\overset{\cdot\text{\ensuremath{\cdot}}}{\chi}(t)t^{2}-[\overset{\cdot}{\chi}(t)t-\chi(t)]\cdot2}{t^{3}}, [/mm] sofern das stimmt, muss ich das dann einfach wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen? Dann eine Lösung für [mm] \chi [/mm] bestimmen?
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Hallo!
Ich sehe grade, du machst dir etwas viel Arbeit mit den Punkten über den Zeichen. Verwende mal \dot{x}, \ddot{x}, \dddot{x} -> [mm] $\dot{x}, \ddot{x}, \dddot{x}$
[/mm]
Aber deine Rechnung stimmt. Setz das jetzt einfach mal ein, und schau, ob es dann irgendwelche Vereinfachungen gibt, ich vermute mal, da gibt es einiges.
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