gekoppeltes Pendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Di 23.12.2008 | | Autor: | Valfuiin |
| Aufgabe | Zwei ebene mathematische Pendel mit verschiedenen Massen [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] sowie derselben Pendellänge l seien im Abstand L voneinander aufgehängt und durch eine masselose Feder mit Federkonstante k und Ruhelänge L miteinander verbunden. Die Pendel seien so montiert, dass sie sich ausschließlich in der [mm] x_1-x_3-Ebene [/mm] (reibungsfrei) bewegen können.
(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion mit den Winkel [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] als verallgemeinerte Koordinaten auf und nähern Sie diese für kleine Auslenkungen.
(b) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen [mm] \omega_1 [/mm] und [mm] \omega_2 [/mm] des gekoppelten Pendels.
(c) Stellen Sie die Winkel [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] in Normalkoordinaten [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] dar.
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Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil (c). Bei (a) komme ich mit den üblichen Näherungen auf folgende Lagrange-Funktion:
L = 1/2 [mm] (l^2*(m_1 \theta^*_1^2+m_2 \theta^*_2^2)-lg(m_1 \theta_1^2+m_2 \theta_2^2)-l^2 [/mm] k [mm] (\theta_1-\theta_2)^2)
[/mm]
Die Eigenfrequenzen habe ich glaube ich auch richtig bestimmen können:
[mm] \omega_1 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{g}{l}+\bruch{k*(m_1+m_2)}{(m_1*m_2)}}
[/mm]
[mm] \omega_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{g}{l}}
[/mm]
Nun komme ich bei Aufgabenteil (c) nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich meine als generalisierte Koordinaten gewählten Winkel [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] in Normalkoordinaten darstellen kann. Ich habe es analog zu einem im Fließbach angegebenen Beispiel versucht durchzuführen nach dem man aus den Eigenvektoren eine Matrix bildet und über eine Normierungsbedingung dann irgendwann die Normalkoordinaten erhält. Leider führt dies aber zu sehr komplizierten und wahrscheinlich falschen Darstellungen von [mm] \theta [/mm] in Normalkoordinaten...
Gibt es hier einen anderen Weg?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=114763&start=0&lps=834856#v834856]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 28.12.2008 | | Autor: | Valfuiin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich erhalte aus dem System gekoppelter Differentialgleichungen die folgende Matrix:
$ \begin{pmatrix} \displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_1} & \displaystyle-\bruch{k}{m_1} \\ \displaystyle-\bruch{k}{m_2} &\displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_2} \end{pmatrix} $
Und diese hat die Eigenvektoren:
v_1 = \vektor{-\bruch{m_2}{m_1} \\ 1}
v_2 = \vektor{1 \\ 1}
zu den Eigenwerten:
$ \omega_1^2=\bruch{g}{l}+\bruch{k\cdot{}(m_1+m_2)}{(m_1\cdot{}m_2)}} $
$ \omega_2^2 = \bruch{g}{l} $
Leider weiß ich nicht wie ich nun von da an die gesuchten Normalkoordinaten komme.
Gruß,
Valfuiin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 28.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> siehe oben
> Also ich erhalte aus dem System gekoppelter
> Differentialgleichungen die folgende Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_1} & \displaystyle-\bruch{k}{m_1} \\ \displaystyle-\bruch{k}{m_2} &\displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_2} \end{pmatrix}[/mm]
Ja, das ist richtig, da hatte ich die Vorzeichen falsch hingeschrieben.
>
> Und diese hat die Eigenvektoren:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{m_2}{m_1} \\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> zu den Eigenwerten:
>
> [mm]\omega_1^2=\bruch{g}{l}+\bruch{k\cdot{}(m_1+m_2)}{(m_1\cdot{}m_2)}}[/mm]
>
> [mm]\omega_2^2 = \bruch{g}{l}[/mm]
Auch richtig, aber die Eigenvektoren sind noch nicht normiert.
> Leider weiß ich nicht wie ich nun von da an die gesuchten
> Normalkoordinaten komme.
Durch ![[]](/images/popup.gif) Diagonalisierung der Matrix: du bestimmst die Ähnlichkeitstransformation, indem du die auf Länge 1 normierten Eigenvektoren zu einer Matrix zusammenfasst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 30.12.2008 | | Autor: | Valfuiin |
Hallo nochmal:
Also die Matrix aus den normierten Eigenvektoren sieht bei mir dann wie folgt aus:
[mm] \pmat{ \bruch{-m_2}{m_1*\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
und nun liefert mir:
[mm] \vektor{Q_1 \\ Q_2} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{-m_2}{m_1*\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} } [/mm] * [mm] \vektor{\theta_1 \\ \theta_2}
[/mm]
die geforderte Darstellung von [mm] Q_1 [/mm] und [mm] Q_2 [/mm] über [mm] \theta_1 [/mm] und [mm] \theta_2 [/mm] ?
Gruß und guten Rutsch,
Valfuiin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 30.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal:
>
> Also die Matrix aus den normierten Eigenvektoren sieht bei
> mir dann wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{-m_2}{m_1*\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nun liefert mir:
>
> [mm]\vektor{Q_1 \\ Q_2}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{-m_2}{m_1*\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{m_2^2}{m_1^2}}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} } *\vektor{\theta_1 \\ \theta_2}[/mm]
>
> die geforderte Darstellung von [mm]Q_1[/mm] und [mm]Q_2[/mm] über [mm]\theta_1[/mm] und [mm]\theta_2[/mm] ?
Fast richtig: du musst die Koordinatenpaare vertauschen!
Wenn ich die obige Matrix S nenne und die Matrix des DGL-Systems mit M bezeichne, ist doch
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{\theta_1 \\ \theta_2} = M \vektor{\theta_1 \\ \theta_2} [/mm]
und
[mm]\Lambda = S^{-1}*M * S \gdw M = S* \Lambda *S^{-1} [/mm],
wobei [mm] $\Lambda$ [/mm] die diagonalisierte Matrix ist, also
[mm] \bruch{d}{dt}\vektor{Q_1 \\ Q_2}= \Lambda *\vektor{Q_1 \\ Q_2} [/mm]
Also ist [mm] $\vektor{Q_1 \\ Q_2} [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] * [mm] \vektor{\theta_1 \\ \theta_2}$.
[/mm]
Du kannst das auch kontrollieren, indem du [mm] $\vektor{\theta_1 \\ \theta_2}$ [/mm] durch [mm] $\vektor{Q_1 \\ Q_2}$ [/mm] ausdrückst und in die Lagrangefunktion einsetzt. Die muss in eine Summe aus zwei Termen für [mm] $Q_1$ [/mm] und [mm] $Q_2$ [/mm] zerfallen.
[mm] $Q_1$ [/mm] beschreibt die Relativbewegung der beiden Pendel; [mm] $Q_2$ [/mm] die Bewegung des Schwerpunkts.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Valfuiin |
Gut, also muss ich entweder die Matrix S invertieren oder ich schreib das ganze einfach so auf:
$ [mm] \vektor{\theta_1 \\ \theta_2} [/mm] = S [mm] \cdot{} \vektor{Q_1 \\ Q_2} [/mm] $
Richtig?
Gruß und guten Rutsch,
Valfuiin
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Hallo Valfuiin,
> Gut, also muss ich entweder die Matrix S invertieren oder
> ich schreib das ganze einfach so auf:
>
> [mm]\vektor{\theta_1 \\ \theta_2} = S \cdot{} \vektor{Q_1 \\ Q_2}[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
>
> Gruß und guten Rutsch,
>
> Valfuiin
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Inra |
Hallo an alle,
ich möchte wissen wie man die Eigenfrequenzen berechnet. Die Lagrangefunktion zu a.) hab ich auch heraus.
Ich habe die Lagrangegleichung nun angewendet und bekomme dann folgende Bewegungsgleichung heraus:
[mm] \theta_1^*^* [/mm] + [mm] \bruch{g}{l}\theta_1 +\bruch{k}{m} (\theta_1-\theta_2)=0
[/mm]
Kann ich nun aus der Bewegungsgleichung die Eigenfrequenz bestimmen? Und wenn ja, wie tut man das?
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Aus der einen Bewegungsgleichung kannst du die Eigenfrequenzen nicht bestimmen. Da du bisher nur eine DGL bestimmt hast musst du also zunächst die zweite DGL bestimmen. Wir haben ja zwei generalisierte Koordinaten, also auch zwei Differentialgleichungen.
Das System aus Differentialgleichungen...
[mm] \theta^{**}_1+(\bruch{g}{l}+\bruch{k}{m_1}) \theta_1=\bruch{k}{m_1}\theta_2
[/mm]
[mm] \theta^{**}_2+(\bruch{g}{l}+\bruch{k}{m_2}) \theta_2=\bruch{k}{m_1}\theta_1
[/mm]
...sieht in Matrixschreibeweise so aus:
[mm] \bruch{d^2}{dt^2} \Theta [/mm] + M [mm] \Theta [/mm] = 0
mit [mm] \Theta [/mm] = [mm] \vektor{\theta_1 \\ \theta_2}
[/mm]
und M = [mm] \begin{pmatrix} \displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_1} & \displaystyle-\bruch{k}{m_1} \\ \displaystyle-\bruch{k}{m_2} &\displaystyle\bruch{g}{l} + \bruch{k}{m_2} \end{pmatrix}
[/mm]
Die Eigenwerte der Matrix M bestimmst du dann wie üblich über
det(A [mm] -\omega^2 [/mm] E) = 0
Dabei ist E die 2x2 Einheitsmatrix. Aus den Eigenwerten folgen dann durchs Wurzel ziehen die Eigenfrequenzen.
Gruß,
Valfuiin
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![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
