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| Aufgabe | In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seiten eine geometrische Folge.
Berechne die einzelnen Seiten des Dreiecks,
wenn die längere Kathete 21 cm kürzer als die Hypothenuse ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 05.06.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
das einzige was mir dazu einfällt ist:
für ein rechtwinkliges dreieck gilt der pythagoras
[mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2
[/mm]
dann soll (wenn b > a ist)
b= c-21 sein.
geometrische folge ist definiert als
[mm] a_{n}= [/mm] a + z
[mm] a_{n+1}= [/mm] (a + z) *q
[mm] a_{n+2}= [/mm] (a + z) [mm] *q^2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Di 06.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Gary,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einem rechtwinkligen Dreieck bilden die Seiten eine
> geometrische Folge.
> Berechne die einzelnen Seiten des Dreiecks,
> wenn die längere Kathete 21 cm kürzer als die Hypothenuse
> ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich nenne die kürzere Kathete a, die andere b und die Hypotenuse c. Dann gilt, da die Seiten eine geometrische Folge bilden sollen:
$ [mm] \bruch{c}{b} [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm] $
Außerdem hast du die Gleichungen:
$ c = b + 21 $ und
$ [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] $
Gruß
Sigrid
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Hallo Sigrid, Danke vorab für die Info.
Wie geht der Ansatz weiter, ich komme auf keine Lösung!
Könntest du mir bitte noch einmal weiterhelfen?
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Hallo GaryFischer,
> Hallo Sigrid, Danke vorab für die Info.
> Wie geht der Ansatz weiter, ich komme auf keine Lösung!
> Könntest du mir bitte noch einmal weiterhelfen?
Wo genau hattest du denn jetzt Probleme bei Sigrids Ansatz? Fangen wir nochmal von vorne an:
> [..] In einem rechtwinkligen Dreieck [..]
Wir haben also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a,b,h gegeben.
> [..] wenn die längere Kathete 21 cm kürzer als die Hypothenuse ist.
Sei [mm]b[/mm] diese längere Kathete und [mm]h[/mm] die Hypothenuse. Dann gilt [mm]b = h-21[/mm].
Also haben wir bis jetzt folgendes:
[mm]a, h-21, h[/mm] mit [mm]a < h-21 < h\quad(\star)[/mm]
und da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt:
[mm]a^2 + (h-21)^2 = a^2 + h^2 - 42h + 441 = h^2\gdw a^2 -42h + 441 = 0\quad(\ddagger)[/mm]
> [..] bilden die Seiten eine geometrische
> Folge.
Schaue dazu z.B. ![[]](/images/popup.gif) hierhin. Dort ist auch von einem konstanten Verhältnis der aufeinanderfolgenden Glieder die Rede. Nun wissen wir aber aus (*), wie die Seitenlängen des Dreiecks aufeinanderfolgen. Also gilt doch:
[mm]\frac{h-21}{a} = q[/mm] und [mm]\frac{h}{h-21} = q[/mm]
und deswegen:
[mm]\frac{h-21}{a} = \frac{h}{h-21} \gdw (h-21)^2 = ah \gdw h-42+\frac{441}{h} = a[/mm]
Dieses Resultat setzen wir in [mm]\ddagger[/mm] ein und erhalten folgende Gleichung:
[mm]\left(h-42+\frac{441}{h}\right)^2-42h+441 = 0[/mm]
Vereinfache nun die Gleichung und bestimme, wann sie 0 wird.
Gruß
Karl
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Ich würde ja sagen, es folgt dann aus dem Verhälntnisbruch, dass [mm] $a=\bruch{b^2}{c}=\bruch{b^2}{b+21}$ [/mm] ist, weil man ja $c=b+21$ hat. Dann kann man in [mm] $a^2+b^2+c^2$ [/mm] einsetzen und bekommt:
[mm] $(\bruch{b^2}{b+21})^2+b^2=(b+21)^2$
[/mm]
Die einzige (reelle) Lösung dieser Gleichung ist
[mm] $b=\bruch{21}{2}+\bruch{21*\wurzel{5}}{2}+21*\wurzel{2+\wurzel{5}}\approx [/mm] 77,2$
Daraus erhält man auch die restlichen Seitenlängen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Sa 10.06.2006 | | Autor: | GaryFisher |
Hallo MasterEd. Verständlich erklärt. Jetzt ist mir alles klar. Vielen Dank.
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