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gerade wird an ebene gespieg.: spiegelung gerade an ebene
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 So 20.01.2008
Autor: floh_van_koch

Aufgabe
Gerade wird an Ebene gespiegelt
Die Gerade: [mm] g1:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] ; k€ R
soll an die Ebene: E: [mm] 2*x_1-x_2-2*x_3+9=0 [/mm]
gespiegelt werden.ermitteln sie die Gleichung der Speigelgerade [mm] g_1 [/mm]

ich habe kein ansatz, keine skizze ich weiß die lösung nicht.  weiß weiner die lösung auf die aufgabe.  hört sich ja eigentlich net schwer an


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
gerade wird an ebene gespieg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 So 20.01.2008
Autor: Somebody


> Gerade wird an Ebene gespiegelt
>  Die Gerade: [mm]g1:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> ; k€ R
>  soll an die Ebene: E: [mm]2*x_1-x_2-2*x_3+9=0[/mm]
>  gespiegelt werden.ermitteln sie die Gleichung der
> Speigelgerade [mm]g_1[/mm]
>  ich habe kein ansatz, keine skizze

Zeichne doch die Situation so, dass Du in die Richtung der Ebene $E$ schaust: dann sind sowohl $E$ als auch die Gerade $g$ nur als Geraden sichtbar. Markiere nun einen Punkt $P$ auf $g$ und spiegle ihn an der (als Gerade gezeichneten) Ebene $E$. - Wie machst Du dies eigentlich? - Eben: genauso machst Du es auch rechnerisch mit Vektoren...

> ich weiß die lösung
> nicht.  weiß weiner die lösung auf die aufgabe.  hört sich
> ja eigentlich net schwer an

Überlege zuerst, wie Du einen einzelnen Punkt, sagen wir $P$, an der Ebene $E$ spiegeln kannst. Hast Du dies geschafft, dann kannst Du einfach zwei Punkte der gegebenen Geraden an der Ebene $E$ spiegeln: die Gerade, die durch diese beiden gespiegelten Punkte von $g$ geht, ist die an $E$ gespiegelte Gerade $g$.

1. Weg (einen Punkt $P$ an $E$ zu spiegeln): Bestimme zunächst den Fusspunkt $F$ des Lotes von $P$ auf $E$. Der an $E$ gespiegelte Punkt $P$, nennen wir ihn $P'$, hat dann den Ortsvektor [mm] $\vec{OP'}=\vec{OP}+2\vec{PF}$. [/mm]

2. Weg: Sei [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] ein Normaleneinheitsvektor von $E$ (ein Normalenvektor lässt sich direkt aus der Ebenengleichung ablesen: nach Division durch seine Länge hat man dann sogar den gewünschten Normaleneinheitsvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] von $E$). Sei des weiteren $A$ ein (beliebiger) in der Ebene $E$ liegender Punkt. Dann ist [mm] $\vec{OP'}=\vec{OP}-2(\vec{AP}\cdot \vec{n}_0)\vec{n_0}$ [/mm]


Bezug
                
Bezug
gerade wird an ebene gespieg.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 So 20.01.2008
Autor: abakus

Falls die Gerade die Ebene durchstößt, hat man schon einmal einen gemeinsamen Punkt von Original- und Bildgerade.

Bezug
                        
Bezug
gerade wird an ebene gespieg.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 So 20.01.2008
Autor: Somebody


> Falls die Gerade die Ebene durchstößt, hat man schon einmal
> einen gemeinsamen Punkt von Original- und Bildgerade.

Stimmt, das kann man auch machen: Dieser Punkt ist halt eben ein Fixpunkt bei der Spiegelung an $E$, dh. sein eigenes Bild.

Falls aber die Gerade die Ebene nicht durchstösst, genügt ebenfalls die Spiegelung eines einzigen Punktes der Geraden an $E$: denn dann ist der Richtungsvektor der an der Ebene $E$ gespiegelten Geraden $g'$ derselbe wie der Richtungsvektor der gegebenen Geraden $g$.

Bezug
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