geschlossene Menge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> ![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]") also: die definition von einer geschlossenen menge
> ist doch: "eine [mm]M\subset \IR[/mm] heißt abgeschlossen, wenn
> jede konvergente folge von punkten [mm]x_k\in[/mm] M gegen einen
> Grenzwert in M strebt."
> ist diese definition dann eher theoretischer natur?
Ja. In der Praxis ist eine Tür entweder offen oder abgeschlossen, aber in der Mathematik mit ihren "theoretischen" Definitionen ist das nicht so: Es gibt Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind und es gibt Mengen, die beides gleichzeitig sind.
> Also [0,1] ist abgeschlossen, steht z.B. in wiki. Aber
> nicht weil es zu 0 und 1 keine [mm]\varepsilon[/mm] -umgebungen
> gibt, die ganz in [0,1] sind, oder? also das gegenteil von
> offen ist nicht geschlossen (und umgekert) oder?
> was wären denn "(konvergente) folgen von punkten" in so
> einer menge? dies kann ich mir überhaupt nicht vorstellen,
> was damit gemeint ist, nicht mal im [mm]\IR^2[/mm] ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]")
Mit "Punkten" sind hier reelle Zahlen gemeint, also die Punkte auf der Zahlengerade, wie wir sie in der Schule kennen und lieben gelernt haben. [mm] $\IR^2$ [/mm] können wir also erst mal vergessen, konzentrieren wir uns auf Teilmengen von [mm] $\IR$.
[/mm]
Um mit Deiner Definition zu zeigen, daß $M=[0,1]$ abgeschlossen ist, mußt Du von jeder konvergenten Zahlenfolge [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_k\in [/mm] M$ zeigen, daß dann auch der Grenzwert $x = [mm] \lim_{k\to\infty} x_k$ [/mm] in $M$ liegt.
Kriegst Du das hin?
Gruß,
Wolfgang
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Hi!
> ahhhh ich kriegs nicht hin ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
>
>
> > Um mit Deiner Definition zu zeigen, daß [mm]M=[0,1][/mm]
> > abgeschlossen ist, mußt Du von jeder konvergenten
> > Zahlenfolge [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm] mit [mm]x_k\in M[/mm] zeigen, daß dann
> > auch der Grenzwert [mm]x = \lim_{k\to\infty} x_k[/mm] in [mm]M[/mm] liegt.
>
> das klingt jetzt vll so als ob ich keine ahnung von nix
> hätte, aber wie kann ich mir überhaupt eine folge in
> [mm]M=[0,1][/mm] vorstellen? ich mein, dass ist doch eine unendlich
> dichte aneinaderreihung von reellen zahlen? ohjee...
> ![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]")
Versuche es mal mit [mm]x_n=\bruch{1}{n}[/mm]
Die Folge ist konvergent und den Grenzwert kennst du. Liegt dieser in deiner Menge M?
Das müsste man nun für jede konvergente Folge zeigen.
Einfacher wäre es bei dieser Aufgabe zu zeigen, das dass Komplement:
[mm][/mm][mm]\IR \setminus M [/mm] offen ist.
Wähle ein epsilon:
[mm] \epsilon:=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \mbox{ >1} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
Nun gilt in beiden Fällen mit x [mm] \in [/mm] CM
[mm] U_{\epsilon (x)}=]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subset [/mm] CM
Valerie
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Lovella |
danke dass du mir hilfst Valerie,
simmt, aja die folge [mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert und ihr grenzwert 0 würde in M liegen.
Du hast noch gesagt, dass es bei dieser aufgabe einfacher wäre das dass komplement $ [mm] \IR \setminus [/mm] M $ offen ist. Ist das ein Satz?
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> danke dass du mir hilfst Valerie,
>
> simmt, aja die folge [mm]a_n=\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert und ihr
> grenzwert 0 würde in M liegen.
>
> Du hast noch gesagt, dass es bei dieser aufgabe einfacher
> wäre das dass komplement [mm]\IR \setminus M[/mm] offen ist. Ist
> das ein Satz?
>
[mm]M \subset X \textrm{ ist offen in} X \gdw \textrm{Das Komplement } K=CM \textrm{ ist abgeschlossen in } X[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Den Satz für die Folgen würde ich eher dafür verwenden um zu zeigen, dass eine Menge nicht abgeschlossen ist.
z.B.: [mm]M=]0,1][/mm] mit [mm]x_n=\bruch{1}{n}[/mm]
Die Folge liegt in M. Der Grenzwert der Folge ist 0. 0 ist aber Kein Element von M.
Daraus folgt das die Menge nicht abgeschlossen ist.
Man kann es also für eine Folge sehr leicht zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 11.12.2011 | | Autor: | Lovella |
au vielen Dank Valerie!
darf ich das nochmal in eigenen worten zusammen fassen?
Also wenn ich zeigen will, dass eine menge M abgeschlossen ist, dann muss ich praktisch 1.) nach allen konvergenten folgen suchen, deren gesamte folgeglieder elemente aus M sind. Und 2.) müssen von all diesen Folgen deren grenzwerte auch ein element der menge M sein. Stimmts so?
und wenn ich zeigen will, dass eine menge nicht abgeschlossen ist, dann such ich mir einfach eine konvergente folge, bei der alle folgeglieder element M sind, aber der grenzwert kein element der menge ist.
ich hoff das stimmt so alles? (muss ja eigentlich, dein besispiel war ja auch sehr toll)? ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> au vielen Dank Valerie!
>
> darf ich das nochmal in eigenen worten zusammen fassen?
> Also wenn ich zeigen will, dass eine menge M abgeschlossen
> ist, dann muss ich praktisch 1.) nach allen konvergenten
> folgen suchen, deren gesamte folgeglieder elemente aus M
> sind. Und 2.) müssen von all diesen Folgen deren
> grenzwerte auch ein element der menge M sein. Stimmts so?
Vielleicht meinst Du es richtig. Besser: eine Menge M ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge [mm] (x_k) [/mm] mit [mm] x_k \in [/mm] M für alle k, auch gilt:
lim [mm] x_k \in [/mm] M
>
> und wenn ich zeigen will, dass eine menge nicht
> abgeschlossen ist, dann such ich mir einfach eine
> konvergente folge, bei der alle folgeglieder element M
> sind, aber der grenzwert kein element der menge ist.
Ja
FRED
>
> ich hoff das stimmt so alles? (muss ja eigentlich, dein
> besispiel war ja auch sehr toll)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 11.12.2011 | | Autor: | Lovella |
puhh na das war aber eine schwere geburt von mir.... aber jetz hab ichs dann doch!
vielen dank Helbig, Valerie20 und fred97!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> > Um mit Deiner Definition zu zeigen, daß [mm]M=[0,1][/mm]
> > abgeschlossen ist, mußt Du von jeder konvergenten
> > Zahlenfolge [mm](x_k)_{k\in\IN}[/mm] mit [mm]x_k\in M[/mm] zeigen, daß dann
> > auch der Grenzwert [mm]x = \lim_{k\to\infty} x_k[/mm] in [mm]M[/mm] liegt.
>
> das klingt jetzt vll so als ob ich keine ahnung von nix
> hätte, aber wie kann ich mir überhaupt eine folge in
> [mm]M=[0,1][/mm] vorstellen? ich mein, dass ist doch eine unendlich
> dichte aneinaderreihung von reellen zahlen? ohjee...
>
Dein ohjee kann ich verstehen. Es ist dem Menschen nicht gegeben, sich alle Zahlenfolgen "vorzustellen". Trotzdem kann man Aussagen beweisen, die für alle Folgen gelten. Die Folgenglieder sind Zahlen im Intervall $[0,1]$, die allerdings nicht verschieden zu sein brauchen. Ein Beispiel ist die Folge $1, 1, 1, 1 ...$, oder
$1, 1/2, 1, 1/2 ...$ oder $1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4 ,1/4, 1/4 ...$ oder
$1, 1/2, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5 ...$.
Welche dieser Folgen haben Grenzwerte? Wieviele Grenzwerte kann eine Folge höchstens haben?
Was kannst Du über den Grenzwert einer Folge aussagen, deren Glieder alle höchstens 1 und mindestens 0 sind.
Hilft das schon mal?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 11.12.2011 | | Autor: | Lovella |
ja das hilft mir auch 
> Welche dieser Folgen haben Grenzwerte?
ich würde sagen, die beiden folgen haben ein grenzwert:
[mm] a_n=1, [/mm] 1, 1, 1,...
[mm] a_n=1/2, [/mm] 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4 ,1/4, 1/4
> Wieviele Grenzwerte kann eine Folge höchstens haben?
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> Was kannst Du über den Grenzwert einer Folge aussagen,
> deren Glieder alle höchstens 1 und mindestens 0 sind?
dass er auch zwischen 0 und 1 liegt
stimmsts so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> ja das hilft mir auch
>
> > Welche dieser Folgen haben Grenzwerte?
> ich würde sagen, die beiden folgen haben ein grenzwert:
> [mm]a_n=1,[/mm] 1, 1, 1,...
> [mm]a_n=1/2,[/mm] 1/2, 1/3, 1/3, 1/3, 1/4, 1/4 ,1/4, 1/4
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> > Wieviele Grenzwerte kann eine Folge höchstens haben?
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> > Was kannst Du über den Grenzwert einer Folge aussagen,
> > deren Glieder alle höchstens 1 und mindestens 0 sind?
> dass er auch zwischen 0 und 1 liegt
>
> stimmsts so?
Ja!
Gruß
Wolfgang
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