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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 05.09.2009 | | Autor: | fastgiga |
| Aufgabe | Zu bestimmen ist der geschlossene Ausdruck folgender Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k * (2x)^{2k+1}}{2k+1} [/mm] |
Also, erstmal ableiten, da kürzt sich ettliches raus und man hat:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2x)^{2k}
[/mm]
So, bis dahin is glaub ich alles richtig, aber jetzt fängts an, ich wollte des ganze auf einen Ausdruck bringen der der geometrischen reihe ähnlich ist, also hab ich (2x)^2k umgeformt zu [mm] (4x^2)^k [/mm] nun kann man ja die -1 reinziehen und man hat:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-4x^2)^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-(-4x^2)}
[/mm]
Aber das ist schon falsch, eigentlich müsste die Summe = [mm] \bruch{2}{1-(-4x^2)} [/mm] sein, damit wäre dann die Stammfunktion arctan(2x), aber da komm ich irgendwie nicht drauf, kann mir da jmd weiterhelfen? ich muss wohl irgendwo ne 2 verloren haben.
Kann mir ausßerdem jmd generell erklären warum man bei so gut wie allen diesen "bestimmung der geschlossenen Form" Aufgaben vernachlässigt das bei der geometrishcen reihe eigentlich |k|<1 sein muss? Wenn die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^x [/mm] heißt?
Schonmal im Vorraus vielen Dank für eure Hilfe und bis dann
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Hallo fastgiga,
> Zu bestimmen ist der geschlossene Ausdruck folgender
> Reihe:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k * (2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>
> Also, erstmal ableiten, da kürzt sich ettliches raus und
> man hat:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(2x)^{2k}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast die innere Ableitung von [mm] $(2x)^{2k+1}$, [/mm] also $2$ unterschlagen, das ist genau der Faktor, der dir nachher unten fehlt ...
>
> So, bis dahin is glaub ich alles richtig, aber jetzt
> fängts an, ich wollte des ganze auf einen Ausdruck bringen
> der der geometrischen reihe ähnlich ist, also hab ich
> (2x)^2k umgeformt zu [mm](4x^2)^k[/mm] nun kann man ja die -1
> reinziehen und man hat:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-4x^2)^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-(-4x^2)}[/mm]
>
> Aber das ist schon falsch, eigentlich müsste die Summe =
> [mm]\bruch{2}{1-(-4x^2)}[/mm] sein, damit wäre dann die
> Stammfunktion arctan(2x), aber da komm ich irgendwie nicht
> drauf, kann mir da jmd weiterhelfen? ich muss wohl irgendwo
> ne 2 verloren haben.
siehe oben
>
> Kann mir ausßerdem jmd generell erklären warum man bei so
> gut wie allen diesen "bestimmung der geschlossenen Form"
> Aufgaben vernachlässigt das bei der geometrishcen reihe
> eigentlich |k|<1 sein muss? Wenn die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k^x[/mm] heißt?
ääh, du meinst sicher $|q|<1$ für die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] ...
Naja, man bastelt sich erstmal die Reihe hin und schaut nachher, für welche $x$ die Potenzreihe konvergiert.
Aber du hast recht, eigentlich sollte man es dann nachher oben dran schreiben, denn eine Potenzreihe ist ja nur in ihrem Konvergenzbereich gliedweise diffbar ...
Wie ist hier der Konvergenzradius?
>
> Schonmal im Vorraus vielen Dank für eure Hilfe und bis
> dann
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Sa 05.09.2009 | | Autor: | fastgiga |
danke für deine hilfe, der konv radius wäre 1/2
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Hallo!
> der konv radius wäre 1/2 #
Genau.
Grüße,
Stefan
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