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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - gew. Differentialgleichung
gew. Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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gew. Differentialgleichung: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:47 Mo 24.09.2007
Autor: alexmart

Aufgabe
In einem Hinterzimmer sitzen vier Zigaretten rauchende Kartenspieler. Zigarettenrauch ist ungemein giftig, da er 4 Volumenprozent Kohlenmonoxid (CO) enthält. Die Kartenspieler stoßen insgesamt z Liter Zigarettenrauch pro Minute aus, und dieser vermischt sich augenblicklich mit der Zimmerluft. Die natürliche Luftaustauschrate des Zimmers betrage geanu z Liter pro Minute.

(a) Wie hoch ist die CO-Konzentration c(t) im Zimmer zum Zeitpunkt t, wenn zum Zeitpunkt t = 0 kein CO in der Zimmerluft enthalten war?

Hallo,

ich würde euch um eine kurze Korrektur obiger Aufgabe bitten, die ich iom folgenden unter Umständen gelöst habe.

zu (a):
Hierbei handelt es sich ja um eine Anfangtswertaufgabe (AWA), wobei die Differentialgleichung noch aufzustellen ist.

Das habe ich nun versucht:

Der CO Konzentration nach der Zeit t im Zimmer entspricht ja praktisch 4% von dem ausgestoßenen Rauch in Abhängigkeit von t.
Also c(t) = 0,04 z t

Diese Konzentration verändert sich aber noch durch den natürlichen Luftaustausch.

Ich suche also den Anteil an Luft der nach der Zeit t nicht ausgetauscht wurde.
Dieser wirkt auf die CO Konzentration proportional.

Also (1 - natürlicher Luftaustausch) c(t) = c'(t) ist meine Differentialgleichung.

Das Zimmervolumen hat die Einheit  1 [mm] m^{3} [/mm] = 1000 l
Der Luftaustausch erfolgt in Litern. Deshalöb teile ich das Zimmervolumen überall durch 1000.

[mm] \Rightarrow [/mm] c'(t) = (1 - [mm] \bruch{tz}{1000V}) [/mm] 0,04 [mm] \bruch{z}{1000} [/mm] t

Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche Differentiallgeichung.

c(t) = [mm] \integral_{a}^{b}{(1 - \bruch{tz}{V}) 0,04 z t dt} [/mm]

= 0,00002 z [mm] t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{0,04}{3000000V}z^{2}t^{3} [/mm] + C

AWA: c(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] c = 0

[mm] \Rightarrow [/mm] c(t) = = 0,00002 z [mm] t^{2} [/mm] - [mm] \bruch{0,04}{3000000V}z^{2}t^{3} [/mm]


So bin um jede Antwort dankbar.

MFG
Alexander

        
Bezug
gew. Differentialgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mi 26.09.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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