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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 03.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl
Für alle natürlichen Zahlen a,b, deren ggT p ist, untersuche man, welche natürlichen Zahlen als größte gemeinsame Teiler von
a) a² und b
b) a³ und b
c) a² und b³
auftreten können. |
Ich habe viel ausprobiert, komme aber leider nie zu schlüssigen Ergebnissen und wenn ich eins habe, kann ich es selber durch ein Zahlenbeispiel wiederlegen.
Vielleicht kann mir jemand bei a) helfen und dann schaffe ich b) und c) alleine?
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> Sei p eine Primzahl
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> Für alle natürlichen Zahlen a,b, deren ggT p ist,
> untersuche man, welche natürlichen Zahlen als größte
> gemeinsame Teiler von
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> a) a² und b
> b) a³ und b
> c) a² und b³
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> auftreten können.
> Ich habe viel ausprobiert, komme aber leider nie zu
> schlüssigen Ergebnissen und wenn ich eins habe, kann ich es
> selber durch ein Zahlenbeispiel wiederlegen.
> Vielleicht kann mir jemand bei a) helfen und dann schaffe
> ich b) und c) alleine?
Quadrieren verdoppelt die Exponenten der Primfaktoren, kubieren verdreifacht sie; die Exponenten, die in der Primfaktorzerlegung des [mm] $\mathrm{ggT}(x,y)$ [/mm] auftreten, sind jeweils der kleinere der entsprechenden Exponenten, die in den Primfaktorzerlegungen von $x$ bzw. $y$ auftreten.
Dies hat z.B. zur Folge, dass [mm] $\mathrm{ggT}(a^2,b)$ [/mm] gleich $p$ aber auch gleich [mm] $p^2$ [/mm] (oder, bezüglich Teilbarkeit, etwas dazwischen) sein kann. (Was genau, hängt noch von $b$ ab.) [mm] $\frac{a}{p}$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{p}$ [/mm] sind teilerfremd weil $p$ ihr ggT ist - aber [mm] $\frac{a^2}{p}=a\cdot \frac{a}{p}$ [/mm] und [mm] $\frac{b}{p}$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 03.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
Moin, ich denke dieser Gedanke wird mir gut weiterhelfen. Werde mich dann morgen damit noch einmal auseinandersetzen.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei p eine Primzahl
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> Für alle natürlichen Zahlen a,b, deren ggT p ist,
> untersuche man, welche natürlichen Zahlen als größte
> gemeinsame Teiler von
>
> a) a² und b
> b) a³ und b
> c) a² und b³
>
> auftreten können.
> Ich habe viel ausprobiert, komme aber leider nie zu
> schlüssigen Ergebnissen und wenn ich eins habe, kann ich es
> selber durch ein Zahlenbeispiel wiederlegen.
> Vielleicht kann mir jemand bei a) helfen und dann schaffe
> ich b) und c) alleine?
Wenn p der ggT von a und b ist, dann
- enthalten a und b keine weiteren gemeinsamen Primfaktoren
- sie enthalten beide einen Faktor p
- einer von beiden kann p auch beliebig oft enthalten
4 Fälle sind möglich, für den ersten habe ich bereits die Lösungen a) bis c) angegeben.
Fall 1: Beide (a und b) enthalten genau ein p
Die gesuchten ggt sind dann: a) p , b) p , c) [mm] p^2
[/mm]
Fall 2: a enthält genau einen Faktor p und b enthält genau zwei Faktoren p
Fall 3: a enthält genau einen Faktor p und b enthält mehr als zwei Faktoren p
Fall 4: a enthält mindestens zwei Faktoren p und b enthält genau einen Faktor p
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