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Ich bin gerade dabei die Eigenschaften eines ggT zu beweisen.
Für zwei Eigenschaften des ggT fehlt mir jedoch eine Beweisidee:
Und zwar für die Eigenschaften:
(1) ggt(a,b)=ggt(a,b-a)
(2) d sei der ggt(a,b)->a/d und b/d sind teilerfremd
Wär super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Lg!
Julia2009
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 28.02.2010 | | Autor: | nooschi |
> Ich bin gerade dabei die Eigenschaften eines ggT zu
> beweisen.
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> Für zwei Eigenschaften des ggT fehlt mir jedoch eine
> Beweisidee:
> Und zwar für die Eigenschaften:
>
> (1) ggt(a,b)=ggt(a,b-a)
ich würde zeigen: [mm] $ggt(a,b)\le [/mm] ggt(a,b-a), [mm] ggt(a,b)\ge [/mm] ggt(a,b-a)$ aus dem folgt dann $ggt(a,b)=ggt(a,b-a)$.
Beweis [mm] $ggt(a,b)\le [/mm] ggt(a,b-a)$:
sei $x=ggt(a,b)$. das heisst [mm]x|a[/mm]. zu zeigen bleibt nur noch [mm]x|(b-a)[/mm]. Schreibe dazu [mm]a=x\cdot a^\*[/mm] und [mm]b=x\cdot b^\*[/mm]. Dabei sind [mm]a^\*, b^\*\in \IN[/mm] da [mm]x=ggt(a,b)[/mm], also [mm]x|a[/mm] und [mm]x|b[/mm]. [mm] $$\Rightarrow (b-a)=x\cdot b^\*-x\cdot a^\*=x\cdot (b^\*-a^\*) \Rightarrow [/mm] x|(b-a)$$
Beweis [mm] $ggt(a,b)\ge [/mm] ggt(a,b-a)$:
sei [mm]x=ggt(a,b-a)[/mm]. Es gilt also [mm]x|a[/mm]. zu zeigen bleibt [mm]x|b[/mm]. Schreibe wieder [mm]a=x\cdot a^\*[/mm] und [mm]b-a=x\cdot (b^\*-a^\*^\*)[/mm]. Dabei gilt wieder [mm]a^\*\in\IN[/mm] und [mm](b^\*-a^\*^\*)\in\IN[/mm]. [mm] $$\Rightarrow [/mm] b = (b-a) + a = [mm] x\cdot (b^\*-a^\*^\*)+x\cdot a^\*=x\cdot ((b^\*-a^\*^\*)+a^\*)$$ [/mm] die Summe natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl, also gilt [mm]x|b[/mm].
> (2) d sei der ggt(a,b)->a/d und b/d sind teilerfremd
Angenommen es existiert [mm]x\not= 1, x\in\IN[/mm] sodass [mm]x|(a/d)[/mm] und [mm]x|(b/d)[/mm]. das ist aber das selbe wie [mm](x\cdot d)|a[/mm] und [mm](x\cdot d)|b[/mm]. Da [mm]x\not= 1[/mm], wäre [mm](x\cdot d)[/mm] eine natürliche Zahl, welche a und b teilt und grösser als d ist. Widerspruch zu [mm]d=ggt(a,b)[/mm].
> Wär super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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> Lg!
> Julia2009
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Di 02.03.2010 | | Autor: | Julia2009 |
Vielen Dank!
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