ggT=Primfaktorzerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seinen m,n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] n=p_1^{e_1}*.....*p_s^{e_s}, n=p_1^{f_1}*.....*p_s^{f_s}
[/mm]
wobei [mm] p_k [/mm] paarweise verschiedene Primzahlen und [mm] e_k, f_k \in \IN, 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] s. seien.
Zeige:
a) [mm] ggT(m,n)=\produkt_{i=1}^{s}p_i^{min \{e_i, f_i \}} [/mm] und
b) [mm] kgV(m,n)=\produkt_{i=1}^{s}p_i^{max \{e_i, f_i \}} [/mm] |
Hi,
ich habe zu Teil a) einen Beweis, den ich nicht so wirklich verstehe.
Sei d=ggT(m,n). Dann wissen wir, dass d|m und d|n, denn es ist min [mm] \{e_i, f_i \} \le e_i [/mm] und min [mm] \{e_i, f_i \} \le f_i [/mm] für i=1,2,3,...
Sei nun t= [mm] \produkt_{i=1}^{s}p_i^{a_i}. [/mm] Dann gilt t|m und t|n, mit [mm] a_i \le e_i [/mm] und [mm] a_i \le f_i, [/mm] für i=1,2,3,...
=> [mm] a_i \le [/mm] min [mm] \{e_i, f_f\} [/mm] für i=1,2,3,... und damit t|d.
=> d=ggT(m,n).
Also diese Vorgehensweise verstehe ich nicht so ganz. Könnt ihr mir das vielleicht erklären, was die damit sagen wollen??
> Sei d=ggT(m,n). Dann wissen wir, dass d|m und d|n, denn es ist min [mm] \{e_i, f_i \} \le e_i [/mm] und min [mm] \{e_i, f_i \} \le f_i [/mm] für i=1,2,3,...
Also das verstehe ich noch, auch wenn ich nicht direkt weiß, wozu wir
> min [mm] \{e_i, f_i \} \le e_i [/mm] und min [mm] \{e_i, f_i \} \le f_i [/mm] für i=1,2,3,...
brauchen. Aber sonst geht das noch. Aber danach fängt es schon an.
Was zeigen die dann mit
> Sei nun t= [mm] \produkt_{i=1}^{s}p_i^{a_i}. [/mm] Dann gilt t|m und t|n, mit [mm] a_i \le e_i [/mm] und [mm] a_i \le f_i, [/mm] für i=1,2,3,...
Wollen die jetzt hiermit sagen, dass t ein weiterer ggT sein soll?? ich weiß aber auch nicht, wieso [mm] a_i \le e_i [/mm] und [mm] a_i \le f_i, [/mm] für i=1,2,3,... gilt??
Und wieso folgt dann daraus
> [mm] a_i \le [/mm] min [mm] \{e_i, f_f\} [/mm] für i=1,2,3,... und damit t|d ????
Ich weiß, dass sind jetzt viele Fragen gleichzeitig, wäre aber nett, wenn ihr mir damit helfen könntet.
Grüße
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> Es seinen m,n [mm]\in \IN[/mm] mit
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> [mm]n=p_1^{e_1}*.....*p_s^{e_s}, n=p_1^{f_1}*.....*p_s^{f_s}[/mm]
>
> wobei [mm]p_k[/mm] paarweise verschiedene Primzahlen und [mm]e_k, f_k \in \IN, 1\le[/mm]
> k [mm]\le[/mm] s. seien.
>
> Zeige:
>
> a) [mm]ggT(m,n)=\produkt_{i=1}^{s}p_i^{min \{e_i, f_i \}}[/mm] und
>
> b) [mm]kgV(m,n)=\produkt_{i=1}^{s}p_i^{max \{e_i, f_i \}}[/mm]
> Hi,
>
> ich habe zu Teil a) einen Beweis, den ich nicht so wirklich
> verstehe.
>
> Sei d=ggT(m,n). Dann wissen wir, dass d|m und d|n, denn es
> ist min [mm]\{e_i, f_i \} \le e_i[/mm] und min [mm]\{e_i, f_i \} \le f_i[/mm]
> für i=1,2,3,...
>
> Sei nun t= [mm]\produkt_{i=1}^{s}p_i^{a_i}.[/mm] Dann gilt t|m und
> t|n, mit [mm]a_i \le e_i[/mm] und [mm]a_i \le f_i,[/mm] für i=1,2,3,...
>
> => [mm]a_i \le[/mm] min [mm]\{e_i, f_f\}[/mm] für i=1,2,3,... und damit
> t|d.
>
> => d=ggT(m,n).
>
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> Also diese Vorgehensweise verstehe ich nicht so ganz.
> Könnt ihr mir das vielleicht erklären, was die damit
> sagen wollen??
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> > Sei d=ggT(m,n). Dann wissen wir, dass d|m und d|n, denn es
> ist min [mm]\{e_i, f_i \} \le e_i[/mm] und min [mm]\{e_i, f_i \} \le f_i[/mm]
> für i=1,2,3,...
>
> Also das verstehe ich noch, auch wenn ich nicht direkt
> weiß, wozu wir
Also du setzt [mm]d:=\produkt_{i=1}^{s}p_i^{min \{e_i, f_i \}}[/mm]. Als erstes wird gezeigt, dass d sowohl m als auch n teilt. Also ist d schon einmal ein gemeinsamer Teiler.
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> > min [mm]\{e_i, f_i \} \le e_i[/mm] und min [mm]\{e_i, f_i \} \le f_i[/mm]
> für i=1,2,3,...
>
> brauchen. Aber sonst geht das noch. Aber danach fängt es
> schon an.
>
> Was zeigen die dann mit
Hieraus folt ja , dass d|m und d|n. Beispiel: m=180=2*2*3*3*5 [mm] ($e_1=2,e_2=2,e_3=1$) [/mm] und n = 300=2*2*3*5*5 [mm] ($f_1=2,f_2=1,f_3=2$) [/mm] dann ist hier d=2*2*3*5 . Immer die kleinste Potenz der Primfaktoren.
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> > Sei nun t= [mm]\produkt_{i=1}^{s}p_i^{a_i}.[/mm] Dann gilt t|m und
> t|n, mit [mm]a_i \le e_i[/mm] und [mm]a_i \le f_i,[/mm] für i=1,2,3,...
Hier wir ein anderer Teiler von m und n genommen. Wir wollen ja zeigen, dass d nicht nur gemeinsamer Teiler sondern der größte gemeinsame Teiler ist. Das zeigen wir, indem wir zeigen, dass jeder andere Teiler von m und n auch d teilen muss!. Hier ist t so ein weiterer gemeinsamer Teiler.
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> Wollen die jetzt hiermit sagen, dass t ein weiterer ggT
nur gT
> sein soll?? ich weiß aber auch nicht, wieso [mm]a_i \le e_i[/mm]
> und [mm]a_i \le f_i,[/mm] für i=1,2,3,... gilt??
t kann hier auch 2*3*5 sein. Dann ist [mm] $a_1=1,a_2=1,a_3=1$
[/mm]
Damit t die Zahlen m und n teilt, dürfen die Exponenten der Primfaktoren in t nicht größer, als die der Ausgangszahlen sein. 2*2*2=6 teilt ja nie 2*2
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> Und wieso folgt dann daraus
Wenn [mm] $a_i\leq f_i$ [/mm] und [mm] $a_i\leq e_i$. [/mm] Dann gilt erst recht [mm] $a_i\leq [/mm] min [mm] \{e_i,f_i\}$
[/mm]
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> > [mm]a_i \le[/mm] min [mm]\{e_i, f_f\}[/mm] für i=1,2,3,... und damit t|d
> ????
Jetzt weißt du, falls es noch einen anderen Teiler t von den Zahlen m und n gibt, so muss dieser auch d teilen. Damit ist d der GRÖßTE gemeinsame Teiler
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> Ich weiß, dass sind jetzt viele Fragen gleichzeitig, wäre
> aber nett, wenn ihr mir damit helfen könntet.
>
> Grüße
Gruß zurück
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Fr 27.05.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
danke nochmal für deine Tipps.
Grüße
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