ggT und kgV < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Elaaa |
Hallo!
Ich hab leider ein Problem. Ich weiß, dass die Aufgabe ganz einfach zu lösen ist, aber irgendwie komm ich nicht weiter!!!
Ich hoffe mir kann jemand helfen!?! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für alle natürlichen Zahlen a,b bezeichne kgV(a,b) die kleinste natürliche Zahl mit a/kgV(a,b) und b/kgV(a,b).
Zeigen Sie, dass
ggT(a,b)=kgV(a,b) =>a=b
Mein Ansatz:
g=ggt
k=kgV
a/k a/g
b/k b/g
k/a g/a
k/b g/b
jetzt weiß ich leider nicht, wie ich weiter machen soll!!!
Danke schon mal im voraus!!!
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Hallo,
hattet ihr den Zusammenhang, dass für positive a,b gilt:
[mm] kgV(a,b)=\bruch{a*b}{ggT(a,b)} [/mm] ?
Damit geht's ganz einfach.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Elaaa |
Nein, den Zusammenhang hatten wir leider noch nicht!
Habe mir jetzt ein Lösung überlegt:
g=ggT(a,b) k=kgV(a,b)
g/a g/b a/k b/k
=>a=g*w =>b=g*x =>k=a*y =>k=b*z
g=a:w g=b:x
g=k
=> a:w=b*z und b:x=a*y
a=b*z*w und b=a*y*x
=> b/a und a/b
=> a=b
Kann man das so zeigen????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 So 13.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Elaa!
Wenn du deinen Beweis sauber mit dem Formelsystem schreibst, dann kann man ihn auch kontrollieren, so eher nicht.
Ich gebe dir jetzt mal eine mögliche Lösung:
Es gibt natürliche Zahlen $c,d,c',d'$ mit
$ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] c=a$,
$ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] d=b$,
$a [mm] \cdot [/mm] c'=kgV(a,b)$,
$b [mm] \cdot [/mm] d' = kgV(a,b)$.
Daraus folgt wegen $kgV(a,b) = ggT(a,b)$:
$kgV(a,b) [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot [/mm] c' = ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot [/mm] c' = kgV(a,b) = ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] d [mm] \cdot [/mm] d' = kgv(a,b) [mm] \cdot [/mm] d [mm] \cdot [/mm] d'$.
Dies ist nur möglich für $c [mm] \cdot [/mm] c'=1= d [mm] \cdot [/mm] d'$,
also (da alles natürliche Zahlen sind):
$c=c'=d=d'=1$.
Es ergibt sich:
$a = ggT(a,b) = b$.
Liebe Grüße
Stefan
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