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ggT und kgV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mi 06.11.2013
Autor: Stephan123

Aufgabe
Betrachten Sie folgende Aussage: Für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt n*n = ggT(n,m)*kgV(n,m)

a) Beweisen Sie die Aussage unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik (eindeutige Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen).

b) Beweisen sie die Aussage, ohne den Fundamentalsatz der Arithmetik zu verwenden.


Hallo,

Teil a) habe ich erledigt, nur weiß ich bei b) nicht weiter. Ich denke ich muss einfach über die Definition von ggT und kgV gehen:

Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:

1) p|n und p|m ; für z [mm] \in \IZ [/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
2) n|h und m|h ; für z [mm] \in \IZ [/mm] mit n|z und m|z folgt: h|z

Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m = p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht, leider komme ich nicht weiter.

Für Tips wäre ich dankbar, :) .

        
Bezug
ggT und kgV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mi 06.11.2013
Autor: reverend

Hallo Stephan,

man kann noch mehr aussagen, als das, was Du benutzt.

> Betrachten Sie folgende Aussage: Für alle n,m [mm]\in \IN[/mm] gilt
> n*n = ggT(n,m)*kgV(n,m)

Da soll wohl links $n*m$ stehen. :-)

> a) Beweisen Sie die Aussage unter Verwendung des
> Fundamentalsatzes der Arithmetik (eindeutige
> Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen).
>  
> b) Beweisen sie die Aussage, ohne den Fundamentalsatz der
> Arithmetik zu verwenden.
>  
> Hallo,
>  
> Teil a) habe ich erledigt, nur weiß ich bei b) nicht
> weiter. Ich denke ich muss einfach über die Definition von
> ggT und kgV gehen:
>  
> Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
>  
> 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
>  2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z folgt:
> h|z
>  
> Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> leider komme ich nicht weiter.
>  
> Für Tips wäre ich dankbar, :) .

Na dann: [mm] n=p*\hat{n} [/mm] und [mm] \ggT{(\hat{n},m)}=1 [/mm]

Ebenso: [mm] m=p*\hat{m} [/mm] und [mm] \ggT{(n,\hat{m})}=1 [/mm]

Daraus folgt [mm] h=p*\hat{n}*\hat{m} [/mm]

Und jetzt Du.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
ggT und kgV: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:51 Mi 06.11.2013
Autor: felixf

Moin rev,

> > Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
>  >  
> > 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
>  >  2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z folgt:
> > h|z
>  >  
> > Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> > p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> > leider komme ich nicht weiter.
>  >  
> > Für Tips wäre ich dankbar, :) .
>
> Na dann: [mm]n=p*\hat{n}[/mm] und [mm]\ggT{(\hat{n},m)}=1[/mm]

das stimmt allerdings so nicht ganz: ist etwa $n = 4$, $m = 2$, so ist $p = 2$ und somit [mm] $\hat{n} [/mm] = 2$ und [mm] $ggT(\hat{n}, [/mm] m) = 2$.

Analog kann man Gegenbeispiele fuer die andere Aussage finden, und man findet auch leicht Wahlen fuer $n$ und $m$, so dass beide Aussagen gleichzeitig falsch sind (etwa $n = [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3$ und $m = 2 [mm] \cdot 3^2$). [/mm]

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
ggT und kgV: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mi 06.11.2013
Autor: reverend

Hallo Felix!

oops. Bloß gut, dass Du das nochmal gegengelesen hast.

> > > Sei p := ggT(n,m) , h := kgV(n,m) . Dann gilt:
>  >  >  
> > > 1) p|n und p|m ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit z|n und z|m folgt: z|p
>  >  >  2) n|h und m|h ; für z [mm]\in \IZ[/mm] mit n|z und m|z
> folgt:
> > > h|z
>  >  >  
> > > Ich denke ich muss damit etwas zusammenstellen um auf n*m =
> > > p*h zu kommen. Ich habe mitlerweile einiges versucht,
> > > leider komme ich nicht weiter.
>  >  >  
> > > Für Tips wäre ich dankbar, :) .
> >
> > Na dann: [mm]n=p*\hat{n}[/mm] und [mm]\ggT{(\hat{n},m)}=1[/mm]
>  
> das stimmt allerdings so nicht ganz: ist etwa [mm]n = 4[/mm], [mm]m = 2[/mm],
> so ist [mm]p = 2[/mm] und somit [mm]\hat{n} = 2[/mm] und [mm]ggT(\hat{n}, m) = 2[/mm].
>  
> Analog kann man Gegenbeispiele fuer die andere Aussage
> finden, und man findet auch leicht Wahlen fuer [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm], so
> dass beide Aussagen gleichzeitig falsch sind (etwa [mm]n = 2^2 \cdot 3[/mm]
> und [mm]m = 2 \cdot 3^2[/mm]).

Ja, klar.
Hier reicht aber auch die Aussage [mm] \ggT{(\hat{m},\hat{n})}=1, [/mm] was aus der Definition des [mm] \ggT [/mm] folgt. Vielleicht hätte ich nicht hinten durch die Brust ins Auge argumentieren sollen...

Das ist hier ja auch schiefgegangen.

Liebe Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
ggT und kgV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 07.11.2013
Autor: Stephan123

Hallo,

da p = ggT(n,m) ist gibt es n',m' [mm] \in \mathbb{N} [/mm] :

n = p [mm] \cdot [/mm] n'
m = p [mm] \cdot [/mm] m'

Leider komme ich damit nicht weiter. Man könnte die erste Gleichung mit m' multiplizieren:
n [mm] \cdot [/mm] m' = p [mm] \cdot [/mm] n' [mm] \cdot [/mm] m'

Wäre nun h = n [mm] \cdot [/mm] m' so wäre die Aufgabe erledigt, nur finde ich dafür keine Begründung.
Es wäre gut, wenn ihr mir noch einen Tipp gegen könntet.

Bezug
                                        
Bezug
ggT und kgV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Do 07.11.2013
Autor: leduart

hallo
multiplizier die 2 te Gl mit n' dann hat du n'm=m'n ein gemeinsames vielfachs von n und m
nur noch sagen, warum es das kleinste ist.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
ggT und kgV: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:16 Do 07.11.2013
Autor: Stephan123

Hallo,

es ist also n [mm] \cdot [/mm] m' = n' [mm] \cdot [/mm] m =: d [mm] \in \mathbb{N} [/mm] . Da h = kgV(n,m) ist und d|n sowie d|m gilt muss auch h|d gelten. Also gibt es ein e [mm] \in \mathbb{N} [/mm] : h [mm] \cdot [/mm] e = d gilt. Ich komme leider nicht darauf warum nun d = h gelten muss....

Bezug
                                                        
Bezug
ggT und kgV: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 10.11.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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