ggT zweier Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 07.05.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Seien $a, b [mm] \in R=\IZ/2\IZ[X]$ [/mm] mit
[mm] $a=X^{10}+X^6+X^4$, $b=X^{12}+X^2+X+1$
[/mm]
Berechne den größten gemeinsamen Teiler von a und b
und schreibe diesen als Linearkombination der Form $m*a + n*b$
mit [mm] $m,n\in [/mm] R$ |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe habe ich folgendes Problem:
der ggT ist recht einfach zu berechnen, allerdings schaffe ich es einfach nicht,
besagte $m,n [mm] \in [/mm] R$ zu finden, egal was ich versuche.
Es wäre klasse, wenn mir jemand den Lösungsweg hierfür skizzieren könnte.
Der [mm] $ggT(a,b)=X^3+X+1$
[/mm]
Danke im Vorraus, reava
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mi 07.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo reava
> Seien [mm]a, b \in R=\IZ/2\IZ[X][/mm] mit
> [mm]a=X^{10}+X^6+X^4[/mm], [mm]b=X^{12}+X^2+X+1[/mm]
>
> Berechne den größten gemeinsamen Teiler von a und b
> und schreibe diesen als Linearkombination der Form [mm]m*a + n*b[/mm]
> mit [mm]m,n\in R[/mm]
>
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe habe ich folgendes Problem:
> der ggT ist recht einfach zu berechnen, allerdings schaffe
> ich es einfach nicht,
> besagte [mm]m,n \in R[/mm] zu finden, egal was ich versuche.
Wie hast du denn den ggT berechnet? Normalerweise kannst du mit den Berechnungen auch gleich $m$ und $n$ rausfinden. (Stichwort: erweiterter euklidischer Algorithmus.)
Du kannst auch mal hier im Forum oder bei Wikipedia oder sonstwo nach dem erweiterten euklidischen Algorithmus suchen, dann findest du genug Erklaerungen und Beispiele wie das geht.
LG Felix
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> Seien [mm]a, b \in R=\IZ/2\IZ[X][/mm] mit
> [mm]a=X^{10}+X^6+X^4[/mm], [mm]b=X^{12}+X^2+X+1[/mm]
>
> Berechne den größten gemeinsamen Teiler von a und b
> und schreibe diesen als Linearkombination der Form [mm]m*a + n*b[/mm]
> mit [mm]m,n\in R[/mm]
> Hallo!
>
> Bei obiger Aufgabe habe ich folgendes Problem:
> der ggT ist recht einfach zu berechnen, allerdings schaffe
> ich es einfach nicht,
> besagte [mm]m,n \in R[/mm] zu finden, egal was ich versuche.
>
> Es wäre klasse, wenn mir jemand den Lösungsweg hierfür
> skizzieren könnte.
> Der [mm]ggT(a,b)=X^3+X+1[/mm]
Division von [mm] $a=x^{12}+x^2+x+1$ [/mm] durch [mm] $b=x^{10}+x^6+x^4$ [/mm] gibt [mm] $x^2$ [/mm] Rest [mm] $r_1=x^8+x^6+x^2+x+1$.
[/mm]
Division von [mm] $b=x^{10}+x^6+x^4$ [/mm] durch [mm] $r_1=x^8+x^6+x^2+x+1$ [/mm] gibt [mm] $x^2+1$ [/mm] Rest [mm] $r_2=x^3+x+1$.
[/mm]
Division von [mm] $r_1=x^8+x^6+x^2+x+1$ [/mm] durch [mm] $r_2=x^3+x+1$ [/mm] gibt [mm] $x^5+x^2+1$ [/mm] Rest $0$: also ist [mm] $r_2=x^3+x+1$ [/mm] ggT der beiden Polynome $a$ und $b$.
P.S: alle Angaben ohne Gewähr...
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