gleiche Lösungsmengen LGS/LUS < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mi 11.04.2012 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Lösungsmengen von
[mm] \begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_1 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\
\vdots & & & & \vdots & = & \vdots \\
a_{m1}x_1 & + & \ldots & + & a_{mn}x_n & = & b_n
\end{array}
[/mm]
und
[mm] \begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_1 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & \leq & b_1 \\
\vdots & & & & \vdots & \leq & \vdots \\
a_{m1}x_1 & + & \ldots & + & a_{mn}x_n & \leq & b_n \\
\displaystyle -\left( \sum_{i=1}^m a_{i1} \right) x_1 & - & \ldots & - & \displaystyle\left( \sum_{i=1}^m a_{in} \right) x_n & \leq &
\displaystyle - \sum_{i=1}^m b_i
\end{array}
[/mm]
einander gleich sind. |
Bezeichnen wir mit (1) das lineare Gleichungssystem (LGS) und mit (2) das lineare Ungleichungssystem (LUS), dann muss ja ich zeigen:
Ist [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] eine Lösung von (1), dann auch von (2) und umgekehrt.
Sei also [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] eine Lösung von (1), dann folgt automatisch auch, dass $x$ eine Lösung von (2) ist, weil die letzte Ungleichung eine Linearkombination der anderen Ungleichungen ist.
Wie zeige ich aber die andere Richtung???
Über einen kleinen Tipp/Hinweis würde ich mich sehr freuen.
Danke
m51va
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass die Lösungsmengen von
> [mm]\begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_1 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\
\vdots & & & & \vdots & = & \vdots \\
a_{m1}x_1 & + & \ldots & + & a_{mn}x_n & = & b_n
\end{array}[/mm]
>
> und
> [mm] \begin{array}{ccccccc}
a_{11}x_1 & + & \ldots & + & a_{1n}x_n & \leq & b_1 \\
\vdots & & & & \vdots & \leq & \vdots \\
a_{m1}x_1 & + & \ldots & + & a_{mn}x_n & \leq & b_n \\
\displaystyle -\left( \sum_{i=1}^m a_{i1} \right) x_1 & - & \ldots & - & \displaystyle\left( \sum_{i=1}^m a_{in} \right) x_n & \leq &
\displaystyle - \sum_{i=1}^m b_i
\end{array}[/mm]
>
> einander gleich sind.
> Bezeichnen wir mit (1) das lineare Gleichungssystem (LGS)
> und mit (2) das lineare Ungleichungssystem (LUS), dann muss
> ja ich zeigen:
> Ist [mm]x\in \IR^n[/mm] eine Lösung von (1), dann auch von (2) und
> umgekehrt.
>
> Sei also [mm]x\in \IR^n[/mm] eine Lösung von (1), dann folgt
> automatisch auch, dass [mm]x[/mm] eine Lösung von (2) ist, weil die
> letzte Ungleichung eine Linearkombination der anderen
> Ungleichungen ist.
>
> Wie zeige ich aber die andere Richtung???
> Über einen kleinen Tipp/Hinweis würde ich mich sehr
> freuen.
Sei j [mm] \in \{1,...,m\}. [/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] a_{j1}x_1+...+a_{jn}x_n=b_j
[/mm]
Nimm mal an es wäre
[mm] a_{j1}x_1+...+a_{jn}x_n
Dann steht aber in der letzten Zeile von (2) ei ">" !!!
FRED
>
> Danke
> m51va
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