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Forum "Mechanik" - gleichförmige Kreisbewegung
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gleichförmige Kreisbewegung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Sa 27.01.2018
Autor: Marie886

Aufgabe
Ein voll besetzter Achterbahnwagen besitzt eine Masse von 1200 kg. Beim Passieren des Scheitelpunkts eines kreisförmigen Hügels mit einem Radius von 18 m bleibt sein Geschwindigkeitsbetrag konstant. Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung der von der Bahn auf den Wagen ausgeübten Kraft am Scheitelpunkt, wenn die Geschwindigkeit des Wagens (a) 11m/s und (b) 14m/s beträgt

Hallo,

zu Beginn habe ich mir eine Skizze gemacht. Die sieht wie folgt aus:

positive y-Achse weist nach oben und positive x-Achse nach rechts.

Auf die Bahn wirkt eine nach unten gerichtete Gravitationskraft [mm] F_g. [/mm] Die Beschleunigung weist in dieselbe Richtung. Die Bahn übt eine nach oben gerichtete Normalkraft auf den wagen aus (meine gesuchte Größe).

meine Gleichung:

[mm] N-F_g=m*(-a) [/mm]   da [mm] a=\bruch{v^2}{R} [/mm]
[mm] N-F_g=m*(-\bruch{v^2}{R}) [/mm]

durch Umformen komme ich auf:

[mm] N=m*(-\bruch{v^2}{R})+ F_g [/mm]

[mm] N=m*(-\bruch{v^2}{R})+ [/mm] m*g= [mm] 1200[kg]*\bruch{(-11[\bruch{m}{s}])^2}{18m}+1200[kg]*9,8[\bruch{m}{s^2}] [/mm]
N=19826[N]

mir erscheint das Ergebnis zu hoch.

Kann das bitte jemand kontrollieren und mich ggf. verbessern?

Alles Liebe,
Marie



        
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gleichförmige Kreisbewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Sa 27.01.2018
Autor: Event_Horizon

Hallo!

> [mm] $N=m*(-\bruch{v^2}{R})+ [/mm] m*g= [mm] 1200[kg]*\bruch{(-11[\bruch{m}{s}])^2}{18m}+1200[kg]*9,8[\bruch{m}{s^2}]$ [/mm]

Links stimmt es noch, rechts hast du das Minus in die Klammer gezogen, beim Quadrieren fällt es dann weg.

>  N=19.826[N]
>  
> mir erscheint das Ergebnis zu hoch.

Ja, da hast du recht, allerdings solltest du dir überlegen, warum dir das zu groß ist. Du erwartest hier ja, daß der Wagen "leichter" wird.  
Nun ist $m*g=11.772N$, der Wagen wird also deutlich "schwerer", und das kann ja nur sein, wenn der Fliehkraft-Term positiv statt negativ ist. Und da kann man sich dann fragen, was mit deinem Minuszeichen nicht stimmt.
So etwa könntest du selbst herausfinden, was da schief gelaufen ist.

Und nochwas: Du hast deine Einheiten überall in eckige Klammern gesetzt. Das macht man eigentlich nicht. (Und die Wahl von N als Variablennamen ist etwas ungünstig, wenn man gleichzeitig die Einheit N hat.)

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gleichförmige Kreisbewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Sa 27.01.2018
Autor: HJKweseleit

Man muss für so ein Problem nicht unbedingt eine (allerdings hier einfache) Endformel finden, weil man durch Berechnung von Zwischenwerten besser erkennt, was los ist.

Für eine Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft [mm] F_Z=mv^2/r. [/mm] Die masseunabhängige Zentralbeschleunigung beträgt dann [mm] a_Z=v^2/r, [/mm] im erstan Fall 6,72 [mm] m/s^2, [/mm] im 2. Fall 10,9 [mm] m/s^2. [/mm] Wo kommt diese her?

Wenn der Wagen oben auf dem Kopf steht, muss sie nach unten wirken. Sie wird durch die Gravitationskraft [mm] F_G [/mm] geliefert. Aber diese ist mit 9,81 [mm] m/s^2 [/mm] höher und zieht daher mit 3,1 [mm] m/s^2 [/mm] zusätzlich nach unten, was bedeutet, dass der Wagen die Kreisbahn nach unten verlassen will. Wenn der Wagen also nicht durch Schienen und die Insassen nicht durch Gurte festgehalten werden, fallen sie herunter.

Im zweiten Fall beträgt die Zentripetalkraft 10,9 [mm] m/s^2. [/mm] Davon werden 9,8 [mm] m/s^2 [/mm] durch die Erdbeschleunigung aufgebracht, mit den restlichen 1,1 [mm] m/s^2 [/mm] müssen die Schienen den Wagen nach unten drücken. Die Personen und der Wagen werden somit mit ca. 11 % ihres Gewichts gegen die Schienen gedrückt.

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gleichförmige Kreisbewegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Sa 27.01.2018
Autor: chrisno

Ich lese die Aufgabe so, das es sich nicht um einen Looping handelt. Das ändert aber nur, dass der Wagen nicht auf dem Kopf steht.

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gleichförmige Kreisbewegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 Di 30.01.2018
Autor: HJKweseleit

Aus der Überlegung "Die Bahn übt eine nach oben gerichtete Normalkraft auf den wagen aus (meine gesuchte Größe)" habe ich geschlossen, dass die Achse der Kreisbahn waagerecht stehen soll. In der Aufgabe kommt auch das Wort "Scheitelpunkt" vor, was für eine Horizontalbewegung bei einem Kreis keinen Sinn macht.

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gleichförmige Kreisbewegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Di 30.01.2018
Autor: chrisno

Dann habe ich mich nicht klar genug ausgedrückt:
"Beim Passieren des Scheitelpunkts eines kreisförmigen Hügels"
Der Wagen fährt über einen Hügel. Oben ist der Scheitelpunkt. Der Weg herauf und herunter ergibt von der Seite betrachtet einen Kreisabschnitt. Es ist also wie beim Looping, nur dass der Wagen nicht auf dem Kopf steht und die Fahrbahn sich über ihm befindet, sondern der Wagen "normal" oben auf der Fahrbahn fährt. Die Rechnungen sind genau die, die Du ausgeführt hast.

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gleichförmige Kreisbewegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Di 30.01.2018
Autor: HJKweseleit

Ja, das passt. Dann wird im 1. Fall der Wagen nur leichter und hebt im 2. Fall von der Fahrbahn ab.

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gleichförmige Kreisbewegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 So 04.02.2018
Autor: Marie886

Hallo,

vielen Dank für den regen Austausch und die Erklärungen.

Meine Ergebniss sind:

Die Kraft die von der Bahn auf den Wagen ausgeübt wird, nenne ich nun [mm] F_z [/mm]

[mm] F_z-mg=-m*(a) [/mm]  

habe das negative Vorzeichen vorgezogen, zur besseren Übersicht damit ich es nicht quadriere...

[mm] F_z= -m*(\bruch{v^2}{R}) [/mm] + mg

a) [mm] v=11\bruch{m}{s} [/mm]

[mm] F_z= -1200kg*(\bruch{(11\bruch{m}{s})^2}{18m}) [/mm] + [mm] 1200kg*9,8\bruch{m}{s} [/mm]
[mm] F_z=3,7kN [/mm]

b)a) [mm] v=14\bruch{m}{s} [/mm]

[mm] F_z= -1200kg*(\bruch{(14\bruch{m}{s})^2}{18m}) [/mm] + [mm] 1200kg*9,8\bruch{m}{s} [/mm]
[mm] F_z=-1,3kN [/mm]

Zur Interppretation:

Bei Punkt a) ist die Zentripetalkraft positiv; kommt hierbei der Wagen von der Fahrbahn ab oder wird er nur leichter? und bei Punkt b) wird er nach unten gedrückt und bleibt somit auf den Schienen?

Heißt das, je schneller der Wagen fährt umso größer ist die Kraft die ihn nach unten drückt? (Wahrscheinlich auch "nur" bis zu einer bestimmten Geschwindigkeit...)

LG,
Marie



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gleichförmige Kreisbewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 So 04.02.2018
Autor: chrisno

Zuerst lege ich das Koordinatensystem fest. Die positive x-Achse zeigt nach oben. Für g nehme ich nur den Betrag.
Dann ist die Gewichtskraft auf den Wagen: [mm] $F_g [/mm] = -mg$
Die Kompensationskraft der ebenen Bahn ist dann: [mm] $F_B [/mm] = mg$
Das ist die "Kraft, die von der Bahn auf den Wagen ausgeübt wird", für den Fall einer waagerechten Fahrt.

Um den Wagen auf einer Kreisbahn zu führen muss eine Zentripetalkraft ausgeübt werden. Die Zentripetalkraft ist auf den Kreismittelpunkt der momentanen Bewegung gerichtet also nach unten [mm] $F_Z [/mm] = [mm] -m\br{v^2}{R}$ [/mm]

Die Zentripetalkraft wird zuerst einmal von der Gravitationskraft bereit gestellt. Das heißt, dass der Anteil von [mm] $F_g$ [/mm] der für [mm] $F_Z$ [/mm] benötigt wird, nicht mehr anderweitig kompensiert werden muss. Ich nenne den noch verbleibenden Rest der Gravitationskraft [mm] $F_{gR}. [/mm]

Es gilt nun [mm] $F_{gR} [/mm] = [mm] F_g [/mm] - [mm] F_z [/mm] = -mg + [mm] m\br{v^2}{R}$ [/mm]
Es gilt weiterhin [mm] $F_B [/mm] = [mm] -F_{gR} [/mm]  = mg - [mm] m\br{v^2}{R}$ [/mm]

Bei der Geschwindigkeit 0 ist nach alles so wie bei waagerechter Fahrt.
Wird die Geschwindigkeit größer, dann wird die von der Bahn aufzubringende Kraft geringer.
Schließlich "schwebt" der Wagen über der Bahn, wenn $ g = [mm] \br{v^2}{R}$ [/mm] gilt.
Wir der Wagen noch schneller, dann muss die Bahn eine Kraft nach unten auf den Wagen ausüben. Das gelingt nur, wenn entsprechende Räder es Wagens von unten gegen die Bahn drücken. Sind solche Räder nicht da, hebt der Wagen ab.


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