gleichmäßig konvergent/differenzierbare Grenzfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Di 01.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen,
ich würde gerne eure Meinung zu diesen MC-Aufgaben wissen. also folgendes:
1. Gegeben ist eine Funktionsfolge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von Funktionen [mm]f_n:D -> \IR[/mm] Ist die FOlge gleichmäßig konvergent?
a) [mm]D := (0, \infty) [/mm] und [mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dx [/mm]
Da weiß ich gar nicht was ich ankreuzen soll. Ich weiß auch nicht wie die Stammfunktion lautet.
b) [mm]D := \IR_+[/mm] und [mm]f_n(x) := 0[/mm] für [mm]x \in \IR \ \IQ[/mm] und [mm]f_n(x) = \bruch {1}{nq}[/mm] für [mm]x=p/q , q \in \IN, p\in \IN_0, p,q[/mm] teilerfrem.
Da bin ich mir relativ sicher und würde sagen, dass die gegen [mm]f(x)=0[/mm] gleichmäßig konvergiert.
c) [mm]D := (- \infty, 0][/mm] und [mm]f_n(x) := e^{x-n}[/mm]
Da würde ich auch ja sagen, d.h. dass [mm]f_n(x)[/mm] gegen [mm]f(x)=0[/mm] konvergiert, weil gilt:
[mm]\limes_{n \to \infty}||f_n||=\limes_{n \to \infty}\bruch{1}{e^n}=0[/mm]
2. Gegeben ist eine Folge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von differenzierbaren Funktionen [mm]f_n:\IR->\IR[/mm]. Ist die Grenzfunktion f auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar?
a) [mm]f_n(x)=(1-x^2)^ne^{-nx^2}[/mm]
Ich würde hier Nein sagen, da es keine Grenzfunktion gibt,d.h. dass sie ja nicht punktweise noch gleichmäßig konvergiert.
b)[mm]f_n(x) := (1-nx^2)^2e^{-nx^2}[/mm]
Da würde ich nun Ja ankreuzen, da die Grenzfunktion [mm]f(x)=0[/mm] ist und die halt differenzierbar ist.
Ich bin mal auf eure Meinungen gespannt
Bis denne
Jessica
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> ich würde gerne eure Meinung zu diesen MC-Aufgaben wissen.
> also folgendes:
Sorry, das meine Reaktion so spät erfolgt.
> 1. Gegeben ist eine Funktionsfolge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von
> Funktionen [mm]f_n:D -> \IR[/mm] Ist die FOlge gleichmäßig
> konvergent?
>
> a) [mm]D := (0, \infty)[/mm] und [mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dx[/mm]
>
>
> Da weiß ich gar nicht was ich ankreuzen soll. Ich weiß auch
> nicht wie die Stammfunktion lautet.
Wenn das Integral richtig angegeben ist, dann ist die Stammfunktion doch recht einfach:
[mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dx=e^{-t}\integral_1^n e^{x*\ln t}\, dx=e^{-t}*\lbrack \bruch{1}{\ln t}*t^x\rbrack_1^n[/mm]
[mm] $=e^{-t}*\lbrack \bruch{1}{\ln t}*t^n-\bruch{1}{\ln t}*t\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\bruch{e^{-t}}{\ln t}*\lbrack t^n-t\rbrack$
[/mm]
Die Funktionen [mm] f_n [/mm] sind doch dann konstante Funktionen (da sie ja nicht mehr von x abhängig sind).
Ausser für t=1 gibt es dann wohl keine Grenzfunktion.
Vielleicht lautet die Definition von [mm] f_n [/mm] aber auch: [mm] $f_n(\red{t})$?
[/mm]
> b) [mm]D := \IR_+[/mm] und [mm]f_n(x) := 0[/mm] für [mm]x \in \IR \ \IQ[/mm] und
Hier meinst du wahrscheinlich [mm] $x\in\IR\setminus \IQ$ [/mm] (das Mengenminus ist ein eigener "Befehl" in LaTeX, und kann nicht einzeln angegeben werden.)
> [mm]f_n(x) = \bruch {1}{nq}[/mm] für [mm]x=p/q , q \in \IN, p\in \IN_0, p,q[/mm]
> teilerfrem.
>
> Da bin ich mir relativ sicher und würde sagen, dass die
> gegen [mm]f(x)=0[/mm] gleichmäßig konvergiert.
Ja, das denke ich auch.
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] $m\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $\bruch{1}{m}\le\varepsilon$.
[/mm]
Ausserdem gibt es ein [mm] $n_0$ [/mm] mit [mm] $n_0>m$.
[/mm]
Dann folgt doch:
[mm] $m\le [/mm] n$ [mm] $\forall n\ge n_0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ m\le [/mm] n*q$ [mm] $\forall n\ge n_0$ [/mm] und [mm] $\forall q\in\IN$ [/mm] (da [mm] $q\ge1$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \bruch{1}{n*q}\le\bruch{1}{m}\le\varepsilon$ $\forall n\ge n_0$ [/mm] und [mm] $\forall q\in\IN$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \bruch{1}{n*q(x)}\le\bruch{1}{m}\le\varepsilon$ $\forall n\ge n_0$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] x$ (mit $q(x)$ meine ich: Das von x abhängende q, wie in der Behauptung)
[mm] $\Rightarrow\ \left|f_n(x)-0\right|\le\bruch{1}{m}\le\varepsilon$ $\forall n\ge n_0$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] x$
[mm] $\Rightarrow\ f_n$ [/mm]  gleichmäßig konvergent.
> c) [mm]D := (- \infty, 0][/mm] und [mm]f_n(x) := e^{x-n}[/mm]
>
> Da würde ich auch ja sagen, d.h. dass [mm]f_n(x)[/mm] gegen [mm]f(x)=0[/mm]
> konvergiert, weil gilt:
> [mm]\limes_{n \to \infty}||f_n||=\limes_{n \to \infty}\bruch{1}{e^n}=0[/mm]
Ja, das würde ich auch sagen, und die Begründung stimmt auch. Ich würde aber noch anmerken, dass [mm] $f_n(0)$ [/mm] die Maximalstelle ist, also [mm] $f_n(0)>f_n(x)$ $\forall x\in(- \infty, [/mm] 0]$, und da [mm] $\limes_{n\to\infty}|f_n(0)-0|=0$ [/mm] (s.o.) folgt dann die gleichmäßige Konvergenz.
> 2. Gegeben ist eine Folge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von
> differenzierbaren Funktionen [mm]f_n:\IR->\IR[/mm]. Ist die
> Grenzfunktion f auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar?
>
> a) [mm]f_n(x)=(1-x^2)^ne^{-nx^2}[/mm]
>
> Ich würde hier Nein sagen, da es keine Grenzfunktion
> gibt,d.h. dass sie ja nicht punktweise noch gleichmäßig
> konvergiert.
1. Fall: $x=1$
[mm] $f_n(x)=0$ $\forall [/mm] n$
2. Fall: $-1<x<1$
[mm] $f_n(x)=e^{n*\ln(1-x^2)}*e^{-nx^2}=e^{n*\ln(1-x^2)-nx^2}=e^{n*(\ln(1-x^2)-x^2)}$
[/mm]
Nun ist $0<|x|<1$, deswegen ist [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$
[/mm]
3. Fall: $1<|x|$
Auch hier gilt:
[mm] $|f_n(x)|
und [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$.
[/mm]
Deswegen denke ich, dass [mm] f_n(x) [/mm] punktweise gegen 0 konvergiert, und die Grenzfunktion deswegen diffbar ist.
Korrektur: [mm] f_n(x) [/mm] konvergiert punktweise gegen 0 für [mm] $x\neq0$ [/mm] und gegen 1 für $x=0$. Bei 0 ist die Grenzfunktion also nicht stetig/diffbar.
> b)[mm]f_n(x) := (1-nx^2)^2e^{-nx^2}[/mm]
>
> Da würde ich nun Ja ankreuzen, da die Grenzfunktion [mm]f(x)=0[/mm]
> ist und die halt differenzierbar ist.
Ja, hier dürfte die Konvergenz noch deutlicher sein.
Korrektur: Also hat diese Funktionenfolge dieselbe Grenzfunktion wie die in a), die damit auch nicht diffbar ist.
> Ich bin mal auf eure Meinungen gespannt
Komische Aufgaben, bin mir grade wieder mal nicht sicher, ob ich nicht wieder was übersehen habe...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:49 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica, lieber Marc!
>> > 1. Gegeben ist eine Funktionsfolge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von
>
> > Funktionen [mm]f_n:D -> \IR[/mm] Ist die FOlge gleichmäßig
> > konvergent?
> >
> > a) [mm]D := (0, \infty)[/mm] und [mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dx[/mm]
>
> >
> >
> > Da weiß ich gar nicht was ich ankreuzen soll. Ich weiß
> auch
> > nicht wie die Stammfunktion lautet.
>
> Wenn das Integral richtig angegeben ist, dann ist die
> Stammfunktion doch recht einfach:
>
> [mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dx=e^{-t}\integral_1^n e^{x*\ln t}\, dx=e^{-t}*\lbrack \bruch{1}{\ln t}*t^x\rbrack_1^n[/mm]
>
> [mm] $=e^{-t}*\lbrack \bruch{1}{\ln t}*t^n-\bruch{1}{\ln
> t}*t\rbrack$
[/mm]
> [mm] $=\bruch{e^{-t}}{\ln t}*\lbrack t^n-t\rbrack$
[/mm]
>
> Die Funktionen [mm] f_n [/mm] sind doch dann konstante Funktionen (da
> sie ja nicht mehr von x abhängig sind).
> Ausser für t=1 gibt es dann wohl keine Grenzfunktion.
>
> Vielleicht lautet die Definition von [mm] f_n [/mm] aber auch:
> [mm] $f_n(\red{t})$?
[/mm]
Ich denke eher, dass
[mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, d\red{t}[/mm]
gemeint war, aber ich bin es leid immer die Aufgabenstellung mit erraten zu müssen. (Nichts gegen dich persönlich, Jessica, aber es kommt allgemein in letzter Zeit sehr häufig vor, dass Aufgaben falsch abgeschrieben werden und das nimmt einem den Spaß.)
> > 2. Gegeben ist eine Folge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] von
> > differenzierbaren Funktionen [mm]f_n:\IR->\IR[/mm]. Ist die
> > Grenzfunktion f auf [mm]\IR[/mm] differenzierbar?
> >
> > a) [mm]f_n(x)=(1-x^2)^ne^{-nx^2}[/mm]
> >
> > Ich würde hier Nein sagen, da es keine Grenzfunktion
> > gibt,d.h. dass sie ja nicht punktweise noch gleichmäßig
>
> > konvergiert.
>
> 1. Fall: $x=1$
> [mm] $f_n(x)=0$ $\forall [/mm] n$
>
> 2. Fall: $-1<x<1$
>
> [mm] $f_n(x)=e^{n*\ln(1-x^2)}*e^{-nx^2}=e^{n*\ln(1-x^2)-nx^2}=e^{n*(\ln(1-x^2)-x^2)}$
[/mm]
> Nun ist $0<|x|<1$, deswegen ist [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$
[/mm]
>
> 3. Fall: $1<|x|$
> Auch hier gilt:
>
> [mm] $|f_n(x)|
> und [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$.
[/mm]
>
> Deswegen denke ich, dass [mm] f_n(x) [/mm] punktweise gegen 0
> konvergiert, und die Grenzfunktion deswegen diffbar ist.
Nein, betrachte die Folge mal für $x=0$.
Außerdem sind deine Rechnungen im Falle $|x|>1$ unzulässig, da dann [mm] $\ln(1-x^2)$ [/mm] nicht definiert ist.
Die Grenzfunktion ist also noch nichtt mal stetig.
> > b)[mm]f_n(x) := (1-nx^2)^2e^{-nx^2}[/mm]
> >
> > Da würde ich nun Ja ankreuzen, da die Grenzfunktion
> [mm]f(x)=0[/mm]
> > ist und die halt differenzierbar ist.
>
> Ja, hier dürfte die Konvergenz noch deutlicher sein.
Auch hier sehe ich das nicht. Was ist mit $x=0$?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
> > Vielleicht lautet die Definition von [mm] f_n [/mm] aber auch:
> > [mm] $f_n(\red{t})$?
[/mm]
>
> Ich denke eher, dass
>
> [mm]f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, d\red{t}[/mm]
>
> gemeint war, aber ich bin es leid immer die
> Aufgabenstellung mit erraten zu müssen. (Nichts gegen dich
> persönlich, Jessica, aber es kommt allgemein in letzter
> Zeit sehr häufig vor, dass Aufgaben falsch abgeschrieben
> werden und das nimmt einem den Spaß.)
Nun, das kann passieren, denke ich. Und Jessica (bzw. ihr Haussklave Christa  ) gibt sich schon sehr viel Mühe bei der Eingabe, finde ich, weswegen man ihr keinen solchen Vorwurf machen kann. Das ist auch deswegen unfair, da dein Frust ja von anderen (neuen) Mitgliedern kommt, die sich gar keine Mühe geben.
> > > a) [mm]f_n(x)=(1-x^2)^ne^{-nx^2}[/mm]
> > >
> > > Ich würde hier Nein sagen, da es keine Grenzfunktion
>
> > > gibt,d.h. dass sie ja nicht punktweise noch gleichmäßig
>
> >
> > > konvergiert.
> >
> > 1. Fall: $x=1$
> > [mm] $f_n(x)=0$ $\forall [/mm] n$
> >
> > 2. Fall: $-1<x<1$
> >
> >
> [mm] $f_n(x)=e^{n*\ln(1-x^2)}*e^{-nx^2}=e^{n*\ln(1-x^2)-nx^2}=e^{n*(\ln(1-x^2)-x^2)}$
[/mm]
> > Nun ist $0<|x|<1$, deswegen ist [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$
[/mm]
> >
> > 3. Fall: $1<|x|$
> > Auch hier gilt:
> >
> >
> [mm] $|f_n(x)|
> > und [mm] $\ln(1-x^2)-x^2<0$.
[/mm]
> >
> > Deswegen denke ich, dass [mm] f_n(x) [/mm] punktweise gegen 0
> > konvergiert, und die Grenzfunktion deswegen diffbar
> ist.
>
> Nein, betrachte die Folge mal für $x=0$.
Das war wirklich dämlich von mir, das zu übersehen. Damit hat sich die Diffbarkeit natürlich erledigt.
> Außerdem sind deine Rechnungen im Falle $|x|>1$ unzulässig,
> da dann [mm] $\ln(1-x^2)$ [/mm] nicht definiert ist.
Da habe ich nur die Betragsstriche nach dem Kopieren vergessen zu ergänzen, sonst wäre es ja auch albern gewesen, eine Fallunterscheidung zu machen:
[mm] $|f_n(x)|
> Die Grenzfunktion ist also noch nichtt mal stetig.
Klar.
> > > b)[mm]f_n(x) := (1-nx^2)^2e^{-nx^2}[/mm]
> > >
> > > Da würde ich nun Ja ankreuzen, da die Grenzfunktion
> > [mm]f(x)=0[/mm]
> > > ist und die halt differenzierbar ist.
> >
> > Ja, hier dürfte die Konvergenz noch deutlicher sein.
>
> Auch hier sehe ich das nicht. Was ist mit $x=0$?
Klar.
Danke für deine Korrekturen!
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:32 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> (Nichts gegen
> dich
> > persönlich, Jessica, aber es kommt allgemein in letzter
>
> > Zeit sehr häufig vor, dass Aufgaben falsch abgeschrieben
>
> > werden und das nimmt einem den Spaß.)
>
> Nun, das kann passieren, denke ich. Und Jessica (bzw. ihr
> Haussklave Christa ) gibt sich schon sehr viel Mühe bei
> der Eingabe, finde ich, weswegen man ihr keinen solchen
> Vorwurf machen kann. Das ist auch deswegen unfair, da dein
> Frust ja von anderen (neuen) Mitgliedern kommt, die sich
> gar keine Mühe geben.
Stimmt, deswegen habe ich ihr ja auch keinen Vorwurf gemacht (und das sogar, siehe oben, betont), sondern nur erklärt, warum ich allgemein keine besonders große Lust mehr habe mir auch noch über die Aufgabenstellung Gedanken machen zu müssen, da sich solche Fehler allgemein (nicht bei Jessica) häufen. Mir ist schon klar, dass Jessica zu den wenigen hier zählt, die sich Mühe geben und sich aktiv eigene Gedanken machen.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Morgen Jungs,
Stefan hat natürlich recht, es muss lauten:
[mm] f_n(x) := \int_{1}^{n} t^xe^{-t}\, dt [/mm]
Sorry, tut mir wirklich leid.
Aber danke für die restlichen Antworten.
Bis denne Jessica
(Christa: Naja, es war wohl er nen Fehler meinerseits, denn ich hab' dass so lapsig abgetippt. Wir Haussklaven versprechen Besserung!)
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