gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Eine Funktion f : M [mm] \subset\ \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] heißt hölderstetig, gdw. es ein C > 0
und ein C > 0 und ein [mm] \alpha \in [/mm] ]0;1] gibt, so dass für alle x1; x2 [mm] \in [/mm] M gilt
[mm] |f(x_1)- f(x_2)| [/mm] <= [mm] C*|x_1-x_2|^\alpha
[/mm]
Zeigen Sie, dass f auf M gleichmäßig stetig ist.
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Hallo!
Def. "gleichm. stetig" ist:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta>0, [/mm]
so dass für alle x, y [mm] \in [/mm] abs(x-y) < [mm] \delta [/mm] stets [mm] abs(f(x)-f(y))<\epsilon [/mm]
folgt
Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich da beginnen soll.
Eigentlich geht doch die Beh. schon aus der Ungleichung
[mm] |f(x_1)- f(x_2)| \le C*|(x_1-x_2)|^\alpha
[/mm]
hervor, da [mm] \alpha [/mm] und C frei wählbar sind (innerhalb der Bereiche).
Müsste ich jetzt nur noch zeigen:
Aus der Def. folgt
[mm] |f(x_1)- f(x_2)| \le |x_1-x_2| [/mm]
und das erfüllt auch die Ungleichung oben.
Nur wie?
Danke und viele Grüße!
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> Eine Funktion f : M [mm]\subset\ \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] heißt hölderstetig,
> gdw. es ein C > 0
> und ein C > 0 und ein [mm]\alpha \in[/mm] ]0;1] gibt, so dass für
> alle x1; x2 [mm]\in[/mm] M gilt
> [mm]|f(x_1)- f(x_2)|[/mm] <= [mm]C*|x_1-x_2|^\alpha[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f auf M gleichmäßig stetig ist.
>
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> Hallo!
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> Def. "gleichm. stetig" ist:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]\delta>0,[/mm]
> so dass für alle x, y [mm]\in[/mm] abs(x-y) < [mm]\delta[/mm] stets
> [mm]abs(f(x)-f(y))<\epsilon[/mm]
> folgt
>
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> Aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich da beginnen soll.
> Eigentlich geht doch die Beh. schon aus der Ungleichung
>
> [mm]|f(x_1)- f(x_2)| \le C*|(x_1-x_2)|^\alpha[/mm]
>
> hervor, da [mm]\alpha[/mm] und C frei wählbar sind (innerhalb der
> Bereiche).
Hallo,
keinesfalls sind C und [mm] \alpha [/mm] frei wählbar innerhalb der Bereiche!!!
Sondern:
Du hast eine vorgegebene Hölder-stetige Funktion f, von der Du zeigen sollst, daß sie glm stetig ist.
Die Tatsache, daß dieses f Hölder-stetig ist, garantiert Dir, daß sich so ein C und ein [mm] \alpha [/mm] finden läßt, so daß
für alle [mm] x_1; x_2[/mm] [mm]\in[/mm] M gilt
[mm]|f(x_1)- f(x_2)|[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]C*|x_1-x_2|^\alpha[/mm].
Wenn Du nun die gleichmäßige Stetigkeit zeigen willst, mußt Du schauen, wie Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] Dir ein von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] undabhängiges [mm] \delta [/mm] zurechtfrickelst aus dem, was Du weißt, so daß für alle [mm] |x_1-x_2|< \delta
[/mm]
[mm] |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon [/mm] gilt.
Hierzu kannst Du überlegen, wie Du es hinbekommst, daß [mm] C*|x_1-x_2|^\alpha <\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 So 20.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Vielen Dank
Könnte ich nicht einfach [mm] \alpha=0 [/mm] wählen?
Dann wäre das Ergebis von [mm] C*|x_1-x_2|^\alpha [/mm] doch immer C, da [mm] |x_1-x_2|^0=1
[/mm]
Und wenn ich annehme, dass es ein [mm] \epsilon [/mm] gibt für das gilt [mm] \epsilon>C,
[/mm]
dann hätte ich doch die Bedingung erfüllt.
(so ganz ist mir nie klar gewesen, was eigentlich ein [mm] \delta [/mm] ist. Könntest Du mir das nochmal erklären?)
Grüße
matt57
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> Vielen Dank
> Könnte ich nicht einfach [mm]\alpha=0[/mm] wählen?
Nein! Ich habe doch schon gesagt, daß Du da nichts wählen kannst.
Die Funktion f ist uns vorgegeben. Sie ist Hölder-stetig, was bedeutet, daß es solch ein [mm] \alpha [/mm] gibt.
Welches [mm] \alpha [/mm] das im Einzelnen ist, ist vom "Leben" bereits vorgegeben, wir können da nix wählen. Wir wissen aber, daß es zwischen 0 und 1 liegt.
> (so ganz ist mir nie klar gewesen, was eigentlich ein
> [mm]\delta[/mm] ist. Könntest Du mir das nochmal erklären?)
Sag statt [mm] "\delta" [/mm] einfach: eine passende Zahl.
Zu einer vorgegebenen Zahl [mm] \varepsilon, [/mm] die beliebig klein sein darf, findet man bei glm Stetigkeit immer eine passende Zahl, welche wir der Einfachheit halber [mm] \delta [/mm] taufen, so, daß die bedingung für glm Stetigkeit erfüllt ist.
Statt [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] könntest Du die Zahlen auch Klips und Klaps nennen, das ist wurscht.
Die Bezeichnungen [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] sind halt gebräuchlich für diesen Sachverhalt, und [mm] \varepsilon [/mm] wird gern verwendet, wenn etwas beliebig klein sein darf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 20.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Hallo und Danke Dir!
Ich weiß also nur, dass dieses [mm] \alpha [/mm] zwischen 0 und 1 liegt und dass das C>0 ist - für diese gilt also die Ungleichung, mehr nicht!
Mein Problem ist nun, dass ich das so verstehe:
Ich wähle also einfach irgendein [mm] \epsilon [/mm] >0 und gucke, ob es ein [mm] \delta [/mm] dazu gibt, wofür die Def., also die Ungleichung erfüllt ist, ja?
Aber wenn ich z.B. weiß, dass [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert, dann benötige ich doch erstmal eine Funktion, um die Ungleichung für diese Fkt. zu überprüfen.
Ich weiß ja gar nicht, was f(x) macht. Gut, das sind die Funktionswerte von x.
Doch: Es gibt ja Funktionen deren Funktionswerte gleich den Werten x sind und es gibt welche, deren Werte kleiner oder größer sind. Entsprechend ändert sich doch auch der Betrag der Differenz zweier x- Werte.
Woher soll ich so eine beliebige Zahl [mm] \delta [/mm] nehmen oder wo muss ich diese einsetzen bzw. wie verarbeiten?
Bsp.:
Wenn ich sage [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Dann ist für [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] in die Ungleichung eingesetzt
3 [mm] \le C*1^\alpha
[/mm]
Ich hätte dann links eine Zahl "3" >0 und rechts eine Zahl "1" >0
Bringt mich so etwas weiter? Oder Holzweg?
Viele Grüße
matt57
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matthias,
ich gehe auf Deinen letzten Post eigentlich mal nicht ein, Angela wird da sicher noch etwas zu sagen (hoffe ich mal  ).
Du hast hier folgendes zu zeigen:
Wenn die Funktion $f$ hölderstetig ist, so ist sie insbesondere gleichmäßig stetig. D.h. die Aufgabe ist es, wenn Du Dir irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgibst, dazu die Existenz eines [mm] $\delta=\delta_\varepsilon$ [/mm] derart zu zeigen, dass gilt:
Für alle x,y mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Du musst nun solch ein [mm] $\delta$ [/mm] quasi konstruieren:
Nach Voraussetzung ist $f$ hölderstetig, also gibt es zu dieser Funktion $f$ ein $0 < [mm] \alpha \le [/mm] 1$ und ein $C > 0$ derart (diese sind von $f$ abhängig, d.h. [mm] $\alpha=\alpha_f$ [/mm] und [mm] $C=C_f$, [/mm] und wenn ein $f$ fest vorgegeben ist, so sind dann auch [mm] $\alpha$ [/mm] und $C$ als fest zu betrachten!), dass
[mm] $(\*)$ [/mm] $|f(x)-f(y)| [mm] \le C*|x-y|^{\alpha}$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] M$.
Wenn Du Dir das hier anschaust:
Du willst ja ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$ so finden, dass wir in der letzten Abschätzung, wenn wir nur [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] haben, dann daraus ablesen können, dass auch [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] ist.
Wenn Du nun ein solches [mm] $\delta [/mm] > 0$ noch nicht angeben kannst, kannst Du aber folgendes überlegen:
Wenn $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] ist, so liegt es wegen [mm] $(\*)$ [/mm] nahe, zu versuchen, ein [mm] $\delta$ [/mm] so zu konstruieren, dass [mm] $C*\delta^{\alpha} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Denn wenn wir ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$ mit dieser Eigenschaft angeben können, so liefert [mm] $(\*)$ [/mm] dann eben, dass aus [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] dann:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le C*|x-y|^{\alpha} [/mm] < [mm] C*\delta^{\alpha} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Also: Wie würdest Du nun ein solches [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:46 Mo 21.01.2008 | | Autor: | matt57 |
Hallo und Danke für die ausführliche Antwort.
Habe mir wohl zuviel Gedanken gemacht...
Ich könnte ja aus der letzten Ungleichung
[mm] C*\delta^\alpha<\epsilon
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \delta>\wurzel[\alpha]{\bruch{\epsilon}{C}}
[/mm]
herleiten.
Damit müsste es ja so ein [mm] \delta [/mm] geben. Wäre ich dann fertig?
Grüße
matt57
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> Hallo und Danke für die ausführliche Antwort.
> Habe mir wohl zuviel Gedanken gemacht...
Hallo,
nein, zu krause...
>
> Ich könnte ja aus der letzten Ungleichung
> [mm]C*\delta^\alpha<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\delta>\wurzel[\alpha]{\bruch{\epsilon}{C}}[/mm]
>
> herleiten.
Ungleichheitszeichen andersrum, oder?
Und dann solltest Du lieber "hoch [mm] \bruch{1}{\alpha}" [/mm] schreiben, oder kannst Du Dir unter [mm] \wurzel[\bruch{\wurzel{3}}{\pi}]{5} [/mm] etwas vorstellen?
> Damit müsste es ja so ein [mm]\delta[/mm] geben. Wäre ich dann
> fertig?
Was Du getan hast bisher, diente ja "nur" der Vorbereitung Deines Beweises - das war geheime Schmierzettelarbeit.
Für Deinen Beweis geht's jetzt so weiter, Du willst ja glm Stetigkeit der Hölder-stetigen Funktion zeigen:
Sei f solche eine Funktion, wie oben angegeben.
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta:= [/mm] das von oben.
Für alle x,y mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] gilt: [und nun kommt Dein großer Auftritt].
Du solltest inzwischen gemerkt haben, daß die Vorgehensweise kaum anders ist, als wenn man "normale" Stetigkeit zeigt, dort biegt man sich ja auch ein zum [mm] \varepsilon [/mm] passendes [mm] \delta [/mm] zurecht.
Gruß v. Angela
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