gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche dieser Folgen gleichmäßig stetig sind:
a) [mm] f_n(x)=x^n-x^{2n} [/mm] auf X=[0,1]
b) [mm] f_n=x/n*ln(x/n) [/mm] auf X=(0,1)
c) [mm] f_n=(1+x^n)^{1/n} [/mm] auf X=[1,unendlich)
d) [mm] f_n=sin(nx)/n [/mm] auf [mm] X=\IR [/mm] |
Hi,
ich weiß, dass ich glm. Stetigkeit dadurch nachweisen kann, dass gilt:
[mm] \forall\epsilon>0 \exists\delta>0 \forall x,x_0\in X:d_x(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_y(f(x), f(x_0))<\epsilon
[/mm]
Was ich mir auch gedacht habe, dass man evtl was mit den Ln und e^ regeln machen kann, nur ich sehe einfach nicht wie?!
Danke und Grüße,
Ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, welche dieser Folgen gleichmäßig stetig
> sind:
Ich glaube, Du bist im falschen Fahrwasser. Gemeint ist wohl "gleichmäßig konvergent"
FRED
> a) [mm]f_n(x)=x^n-x^{2n}[/mm] auf X=[0,1]
> b) [mm]f_n=x/n*ln(x/n)[/mm] auf X=(0,1)
> c) [mm]f_n=(1+x^n)^{1/n}[/mm] auf X=[1,unendlich)
> d) [mm]f_n=sin(nx)/n[/mm] auf [mm]X=\IR[/mm]
> Hi,
> ich weiß, dass ich glm. Stetigkeit dadurch nachweisen
> kann, dass gilt:
> [mm]\forall\epsilon>0 \exists\delta>0 \forall x,x_0\in X:d_x(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_y(f(x), f(x_0))<\epsilon[/mm]
>
> Was ich mir auch gedacht habe, dass man evtl was mit den Ln
> und e^ regeln machen kann, nur ich sehe einfach nicht
> wie?!
>
> Danke und Grüße,
> Ben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
ähm, ja das stimmt, sollte konvergent (glm.) sein. aber leider versteh ich das genauso wenig... zumindest eig schon, nur ich weiß nicht, wie ich da bei den aufgaben ansetzen soll...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
so ich habe mich mal an c) versucht:
[mm] f_n(x)=\wurzel[n]{1+x^n}
[/mm]
Beh. [mm] f_n [/mm] ist glm kvgt
=> [mm] f_n=> [/mm] f, wobei f(x)=x die Grenzfunktion ist.
Beweis:
[mm] f_n=>f [/mm] <=> zu jedem [mm] \epsilon>0 \quad \exists [/mm] N mit [mm] d(f_n(x), [/mm] f(x))< [mm] \epsilon \quad \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \quad \forall [/mm] n>=N
=> [mm] |f_n(x)-f(x)v< \epsilon
[/mm]
=> |lim [mm] \wurzel[n]{1+x^n}-lim [/mm] f(x)|< [mm] \epsilon
[/mm]
berechnung mit Sandwichsatz:
Sei [mm] g_n(x):= \wurzel[n]{x^n} [/mm] und [mm] h_n(x):= \wurzel[n]{2x^n}
[/mm]
=> x<....<= [mm] \wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{x^n}
[/mm]
=> lim [mm] \wurzel[n]{1+x^n}=x
[/mm]
=> [mm] f_n(x)=> [/mm] f(x)
geht das so?
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Hi!
Also mal zu Beispiel (a):
Die Funktionenfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] konvergiert nicht gleichmäßig, denn:
1. Der punktweise Grenzwert dieser Funktionenfolge ist
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0\leq x<1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}$ [/mm]
2.Die Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] sind alle stetig, aber ihre Grenzfunktion $f$ ist das offensichtlich nicht, das liefert aber einen Wiederspruch, denn die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge ist wieder stetig!
So ähnlich funktionieren dann auch die anderen!
Gruß Deuterinomium
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