gleichmäßige konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mi 18.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion auf gleichmäßige und punktweise Stetigkeit:
[mm] f_n: \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto cos(\bruch{x}{n}) [/mm] |
Die Folge [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] geht gegen 0. Somit auch [mm] \bruch{1}{n_0}+...+\bruch{1}{n_x}.
[/mm]
Also gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(\bruch{x}{n})=cos(0).
[/mm]
Also gilt: [mm] |coscos(\bruch{x}{n})-cos(0)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 ab [mm] n>n_0 [/mm] mit [mm] n_0 \in \IN. [/mm]
Ist das schon ausreichend um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?
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Hiho,
> Die Folge [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] geht gegen 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit auch [mm]\bruch{1}{n_0}+...+\bruch{1}{n_x}.[/mm]
Was immer du damit meinst, ich wag es aber zu bezweifeln.
Wieviele Summanden sollen denn da stehen?
> Also gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} cos(\bruch{x}{n})=cos(0).[/mm]
= 1
> Also gilt: [mm]|coscos(\bruch{x}{n})-cos(0)|< \varepsilon[/mm] für
> alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 ab [mm]n>n_0[/mm] mit [mm]n_0 \in \IN.[/mm]
Ok, was immer du hier gemacht hast, es macht keinen Sinn.
Für gleichmäßige Konvergenz musst du nun doch zeigen, dass
[mm] $||cos\left(\bruch{x}{n}\right) [/mm] - [mm] 1||_\infty \to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Was ist aber [mm] $||cos\left(\bruch{x}{n}\right) [/mm] - [mm] 1||_\infty$ [/mm] für alle x?
Geht das gegen Null?
Oder um es mit dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] - Kriterium zu machen, wie du es versucht hast:
Du müsstest zeigen, dass [mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\, n_0 \;\forall\,n\ge n_0:\quad |\cos\left(\bruch{x}{n}\right) [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon \quad\forall\, x\in\IR$
[/mm]
Was ist aber der maximale Wert, den der Ausdruck [mm] $|\cos\left(\bruch{x}{n}\right) [/mm] - 1|$ für alle n annimmt? Wird dieser beliebig klein für ein beliebiges x (aber festes n!)?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Also ich wollte eigentlich nur ausdrücken, dass die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] = [mm] cos(\bruch{x}{n}) [/mm] konvergent mit cos(0) ist, da die Folge [mm] a_n:=\bruch{x}{n}
[/mm]
für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] gegen cos(0) geht.
Also: [mm] f_1=cos(\bruch{x}{1}), f_2=\bruch{x}{2})...
[/mm]
Und damit ist die Differenz aus der Funktionenfolge ab einem [mm] n_0 [/mm] kleiner als jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0. Somit: [mm] |cos(x/n)-cos(0)|<\varepsilon. [/mm] Damit ist sie punktweise stetig.
Das müsste doch stimmen?
Mit [mm] \bruch{x}{n}=\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n} [/mm] meinte ich, dass man die Brüche ja zerlegen kann. [mm] \bruch{2}{n}=\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n}.
[/mm]
Das klappt aber natürlich nicht immer, da ja x [mm] \in \IZ.
[/mm]
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Huhu,
> Also ich wollte eigentlich nur ausdrücken, dass die
> Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] = [mm]cos(\bruch{x}{n})[/mm] konvergent mit
> cos(0) ist, da die Folge [mm]a_n:=\bruch{x}{n}[/mm]
> für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] gegen cos(0) geht.
ja, das folgt sofort aus der Stetigkeit von [mm] $\cos$, [/mm] denn es gilt ja [mm] $\lim_{n\to\infty}\cos\left(\bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] \cos\left(\lim_{n\to\infty}\bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] \cos(0) [/mm] = 1$
> Damit ist sie punktweise stetig.
punktweise konvergent.
> Das müsste doch stimmen?
Ja, aber was ist nun mit gleichmäßiger Konvergenz? Dazu hab ich dir ja schon einige Tips gegeben.
MFG;
Gono.
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