gleichseitige Dreiecke < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 30. Zeichne zwei gleichseitige Dreiecke, deren Flächen sich wie 3:5 verhalten.
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*** nix rumgepostet ***
Die Seite des ersten Dreiecks heisse [mm] a_{1}, [/mm] die des zweiten Dreiecks [mm] a_{2}. [/mm] Die entsprechenden Flächen nenne ich [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2}.
[/mm]
Voraussetzungen:
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
[mm]h^{2} \ = \ a^{2} \ - \ (\bruch{1}{2}a)^{2} [/mm]
[mm]h \ = \ \bruch{ \wurzel{3}}{2} * a[/mm]
Fläche des gleichseitigen Dreiecks.
[mm]A \ = \ \bruch{a*h}{2} \ = \ \bruch{a}{2} *\ \bruch{ \wurzel{3}}{2} * a \ = \ \ \bruch{\wurzel{3}}{4}*a^{2} [/mm]
[mm]A_{1} \ = \ \bruch{\wurzel{3}}{4}*a_{1}^{2} [/mm]
[mm]A_{2} \ = \ \bruch{\wurzel{3}}{4}*a_{2}^{2} [/mm]
[mm]\bruch{A_{1}}{A_{2}} \ = \ \bruch{\bruch{\wurzel{3}}{4}*a_{1}^{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{4}*a_{2}^{2}}
\ = \ \bruch{3}{5}[/mm]
[mm]a_{2} \ = \ \wurzel{\bruch{5}{3}*a_{1}^{2}} \ = \ \wurzel{\bruch{5}{3}}* a_{1} \ = \ 1.29*a_{1} [/mm]
Soweit der rechnerische Weg.
Meine Frage: Gibt es auch eine Konstruktion für diese Aufgabe?
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Hallo Beni Muller!
Gleichseitige Dreiecke haben die Eigenschaft, daß nicht nur alle 3 Seiten, sondern auch alle 3 Innenwinkel gleich groß sind (es gilt also: [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 60°)
Um zu konstruieren brauchst du nur 2 Strahlen im Winkel von 60° schneiden. Danach trägst du dir auf beiden Strahlen jeweils eine Strecke beliebiger Länge ab (z.B. 10 cm). Die entstandenen Schnittpunkte auf den Strahlen verbindest du und schon hast du dein erstes gleichseitiges Dreieck konstruiert.
Das zweite Dreieck konstruierst du, indem du die eben abgetragenen Strecken einfach um den von dir berechneten Faktor [mm] \wurzel{\bruch{5}{3}} [/mm] verlängerst (in unserem Beispiel also auf 12,9 cm). Die ebeiden entstandenen Punkte wieder miteinander verbinden und schon hast du dir ein zweites, gleichseitiges Dreieck konstruiert. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke haben dabei das von dir gewünschte Verhältnis.
Gruß,
Tommy
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Lieber Tommy
Danke für deinen Hinweis. Soweit war mir das schon klar.
Ich hätte gerne gewusst, ob es für die $ [mm] \wurzel{\bruch{5}{3}} [/mm] $ eine konstruktive Lösung gibt. Die Aufgabenstelluing scheint dies zu sugerieren.
Herzliche Grüsse aus Zürich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 27.08.2006 | | Autor: | riwe |
hallo,
klar jede quadratwurzel aus einer (konstruierbaren) strecke läßt sich konstruieren, z.b. mit dem höhensatz.
(beim 17-eck wird es schon biestig)
noch einmal euklid
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Do 31.08.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo riwe
Besten Dank für deine hilfreiche Antwort und natürlich für die hübsche Grtafik. Sorry, dass ich erst jetzt dazu komme zu antworten.
Gruss aus Zürich
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Hallo,
ich gebe zu, dass mit riwes Antwort besser gefallen hat, aber hier trotzdem meine Idee:
Gesucht ist die Strecke mit der Länge [mm]a*\wurzel{\bruch{5}{3}}[/mm].
Da aber [mm] \bruch{5}{3} [/mm] = [mm] \bruch{15}{9} [/mm] = [mm] \bruch{16}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist, könnten wir einfach ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren mit der Hypotenusenlänge [mm]a*\bruch{4}{3}[/mm] und einer Kathetenlänge [mm]a*\bruch{1}{3}[/mm]. Die zweite Kathete hat dann die gewünschte Länge.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 So 27.08.2006 | | Autor: | riwe |
finde ich genau so gut,
wobei das halt nicht immer so leicht gehen dürfte? x = [mm] \sqrt{\frac{7}{3}}
[/mm]
es führen halt viele wege nach rom.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 So 27.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
[mm]\bruch{7}{3} = \bruch{21}{9} = \bruch{121}{9} - \bruch{100}{9} = \left(\bruch{11}{3}\right)^2 - \left(\bruch{12}{3}\right)^2[/mm]
Bei ungeraden Zählern ist es ja kein Problem, da man immer zwei aufeinanderfolgende Quadrate findet, deren Differenz diese ungeraden Zahl ist. Wollte nur etwas klugsch... ;)
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 27.08.2006 | | Autor: | riwe |
hallo martin,
also dann x= [mm] \sqrt{\frac{22222}{33333}}
[/mm]
aus demselben grund
(das möchte ich aber auch nicht mit dem höhensatz konstruieren müssen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
Aaaah,
glücklicherweise lässt sich [mm] \bruch{22222}{33333} [/mm] zu [mm]\bruch{2}{3}=\bruch{6}{9}[/mm] kürzen.![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Da der Zähler dummerweise gerade und etwas ungünstig ist, lässt sich dies nur durch zwei rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Auch nicht so schwer...
Aber ich weiß, worauf du hinauswillst.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Do 31.08.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Auch dir Martin Danke für den alternativen Vorschlag.
Grüsse aus Zürich
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