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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 08.06.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | Gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass für beliebig vorgegebene reelle zahlen u,v,w mit |u|,|v|,|w| < [mm] \varepsilon [/mm] das Gleichungssystem
x + xyz = u
y + ysin x = v
z + 2x + 3z² = w
eine Lösung (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] besitzt? |
also hallo erstmal. ich habe zu der aufgabe überhaupt keine idee, wie ich das lösen könnte, vielleicht könnte mir ja jemand einen tipp geben.
es müsste ja
|x + xyz | < [mm] \varepsilon [/mm]
|y + ysin x | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| z + 2x + 3z² | < [mm] \varepsilon [/mm] sein, aber wie macht man jetzt weiter?
lg bonczi
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sehr seltsame Fragestellung...
könntest du uns mitteilen, ob diese Frage aus irgendeinem
konkreten Bereich oder Anwendungsfall stammt ?
Vielleicht könnte das dabei helfen, einen Ansatz zu finden.
LG al-Ch.
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> Gibt es ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so dass für beliebig
> vorgegebene reelle zahlen u,v,w mit |u|,|v|,|w| <
> [mm]\varepsilon[/mm] das Gleichungssystem
>
> x + xyz = u
> y + ysin x = v
> z + 2x + 3z² = w
>
> eine Lösung (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] besitzt?
> also hallo erstmal. ich habe zu der aufgabe überhaupt
> keine idee, wie ich das lösen könnte, vielleicht könnte mir
> ja jemand einen tipp geben.
>
> es müsste ja
> |x + xyz | < [mm]\varepsilon[/mm]
> |y + ysin x | < [mm]\varepsilon[/mm]
> | z + 2x + 3z² | < [mm]\varepsilon[/mm] sein, aber wie
> macht man jetzt weiter?
>
> lg bonczi
Hi bonczi,
Hier bin ich gerade nochmals.
Ich habe mir folgendes überlegt: Es geht ja nur um die
Existenz eines (wenn auch winzigen) positiven [mm] \varepsilon,
[/mm]
so dass das Gleichungssystem für alle [mm] \vektor{u\\v\\w} [/mm] mit
[mm] u^2+v^2+w^2<\varepsilon^{2} [/mm] lösbar ist.
Nun hat ja das System für u=v=w=0 die offensichtliche
Lösung x=y=z=0 (nebst eventuellen anderen, die uns
aber gar nicht interessieren müssen).
Die Frage nach der Auflösbarkeit des Systems für
benachbarte [mm] \vektor{u\\v\\w} [/mm] hat mit der Frage nach
einer eindeutigen Umkehrfunktion der Abbildung (*) in einer
Umgebung des Nullpunktes zu tun.
Ich vermute, dass dies euer aktuelles Thema ist.
Falls ja, sollten dir diese Erläuterungen weiter helfen...
LG al-Chwarizmi
(*) Gemeint ist natürlich die Abbildung
f: [mm] \IR^3 \to \IR^3
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z} \mapsto \vektor{u\\v\\w}
[/mm]
die durch das Gleichungssystem beschrieben wird.
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