glm. Stet. von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Reihen und würde gerne wissen, warum eine Konvergente Reihe [mm] f(x)=\summe_{i=1}^{\infty} a_kx^k [/mm] mit Konvergenzradius R im "Innern" des Konvergenzradius' gleichmäßig konvergent ist.
Also hier sind meine Überlegungen, ich bin mir aber nicht so ganz sicher. Vielleicht kann mir jemand helfen:
Also soweit ich weis, gilt für die glm. Konvergenz einer Potenzreihe, dasselbe wie für die glm. Konvergenz von Funktionenfolgen. D.h. [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_kx^k [/mm] ist glm. konvergent gegen f(x) auf [mm] B_R(0)
[/mm]
<=> [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0,s.d. \forall n>n_0 [/mm] und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0): [/mm]
[mm] |f(x)-f_n(x)|<\epsilon
[/mm]
Nun sei ein [mm] \epsilon [/mm] >0 beliebig gegeben:
Dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0) [/mm] , dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_kx^k [/mm] eine Cauchy Folge ist, weil die Potenzreihe konvergent ist.
=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0) [/mm] existiert ein [mm] n_0 [/mm] s.d. [mm] |f(x)-f_n(x)|=
[/mm]
[mm] |\summe_{i=n+2}^{\infty} a_kx^k|<\epsilon
[/mm]
für [mm] m_0:=max [/mm] { [mm] n_0 [/mm] } gilt doch dann, dass
[mm] |f(x)-f_n(x)|< \epsilon \forall n>m_0 [/mm] und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0).
[/mm]
somit konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig gegen f(x) auf der Menge [mm] B_R(0) [/mm] und f(x) ist somit als Grenzfunktion stetig.
Ist der Beweis so korrekt?
Wäre wirklich super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Danke und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Aussage $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_kx^k [/mm] $ ist eine Cauchyfolge meinst du wohl nicht, das ist eine fkt.
also beim Aufschreiben sind noch mehr Lüken, etwa [mm] maxn_0 [/mm] über was das max? usw.
solange du nichts über R sagst, ist der Beweis noch falsch. [mm] B_R [/mm] muss eine kompakte Umgebung mit [mm] R\le [/mm] q*r sein q<1
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Antwort.
Also eigentlich möchte ich zeigen, dass die Potenzreihe im Inneren des Potenzradius gleichmäßig gegen f(x) konvergiert.(Laut meinem Analysis Skript ist das der Fall)
Dabei ist der "Konvergenzbereich" mit Konvergenzradius R, also in diesem Fall [mm] B_R(0)={x : |x|
Warum meinst du, dass ich kompaktheit benötige? Soweit ich weis, muss der Definitionsbereich einer Funktionenfolge nicht kompakt sein, damit sie glm. konvergiert!
Zum Punkt mit der Cauchy-Folge, meinte ich, dass die Folge der Partialsummen einer jeden konvergenten Reihe und somit auch die der konvergente Potenzreihe eine Cauchy Folge bilden mit der Eigenschaft, dass [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0) \exists n_0>0, [/mm] s.d. [mm] |a_n*x^n+a_{n+1}*x^{n+1}+...a_{n+p}*x^{n+p}|<\epsilon \forall n>n_0 [/mm] und p>0 .
somit hat man zu jedem [mm] \epsilon [/mm] und zu jedem x im Konvergenzbereich ein [mm] n_0.
[/mm]
Somit dachte ich, dass für das maximum all dieser [mm] n_0 [/mm] ein Folgenglied der Potenzreihe gefunden wäre, s.d. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_R(0) [/mm] eben obige Abschätzung gilt und somit die Potenzreihe glm. konvergiert.
Ich hoffe du hast mich jetzt besser verstanden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mi 10.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Und die Behauptung, dass eine solche im Inneren ihres
> Konvergenzkreises (nicht Kgz.-Radius!) glm. konvergiert,
> ist falsch, siehe etwa den Absatz nach Beispiel 16.4 4. von
> ![[]](/images/popup.gif) hier.
Also nur damit keine Mißverständnisse auftreten: Ist R der Konvergenzradius, dann konvergiert die Potenzreihe auf [mm] $0\le|z|
Man kann also (in einem gewissen Sinne) durchaus sagen: Im Inneren des Konvergenzkreises konvergieren Potenzreihen gleichmäßig.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo pelzig,
> > Und die Behauptung, dass eine solche im Inneren ihres
> > Konvergenzkreises (nicht Kgz.-Radius!) glm. konvergiert,
> > ist falsch, siehe etwa den Absatz nach Beispiel 16.4 4. von
> >
> hier.
> Also nur damit keine Mißverständnisse auftreten: Ist R
> der Konvergenzradius, dann konvergiert die Potenzreihe auf
> [mm]0\le|z|
> zitierte Gegenbeispiel zeigt), aber für jedes [mm]\tilde{R}
> gleichmäßig auf [mm]0\le|z|\le\tilde{R}[/mm] - und das ist
> wesentlich mehr als lokal gleichmäßige Konvergenz!
was ist daran wesentlich mehr? In [mm] $(\IC,d_{\IC})$ ($d_{\IC}$ [/mm] übliche euklidische Metrik) ist das äquivalent:
Lokal gleichmäßige Konvergenz ist nichts anderes als kompakte Konvergenz.
(Siehe etwa hier.)
Zum Beweis:
1.) Dass aus der kompakten Kgz. von [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auch die lokal glm. folgt, ist banal.
2.) Sei [mm] $(f_n)_n$ [/mm] auf [mm] $D:=U_R(0)$ [/mm] glm. konvergent. Sei $K [mm] \subset [/mm] D$ kompakt. Dann ist [mm] $\mathcal{U}:=\{U(x): x \in K \text{ und }U(x) \text{ ist offen und }({f_n}_{|U(x)}\})_n \text{ ist auf }U(x) \text{ glm. kgt.}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $K\,.$ [/mm] Also gibt es [mm] $x_1,\,\ldots,x_N \in [/mm] K$ so, dass [mm] $\{U(x_1),\ldots,U(x_N)\}$ [/mm] eine endliche offene Überdeckung von [mm] $K\,$ [/mm] ist...
Besten Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 10.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Ok da kann ich nichts gegen sagen, danke für die Erleuchtung. 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Ok da kann ich nichts gegen sagen, danke für die
> Erleuchtung.
bitteschön. Aber ich kann nachvollziehen, dass oft übersehen wird, dass kompakte und lokal glm. Kgz. (hier) das gleiche sind.
(Ehrlich gesagt hatte ich das zwar in Erinnerung, musste aber selbst nochmal nach Quellen suchen, die mir das bestätigen. Denn bei bekannten Aussagen bin ich etwas faul, ich fange erst an, mir den Beweis zu überlegen, wenn ich denn wenigstens irgendwoher die Bestätigung habe, dass ich nicht im Irrtum bin  .
P.S.: Wenn man das ganze noch ein wenig theoretischer begutachtet, so wird man bei dieser Aussage wohl zu dem Begriff der lokalkompakten Räumen gelangen, siehe etwa hier.)
Denn aus der lokal glm. Konvergenz die kompakte Kgz. zu folgern, ist ja etwas, was nicht ganz trivial ist. Vielleicht gibt's auch einen schöneren Beweis; einen, der eine andere als meine Idee, das ganze über die topologische Definition der Kompaktheit zu führen, benützt. Kompaktheit kann man ja zudem auch noch anderes charakterisieren...
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mi 10.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> P.S.: Wenn man das ganze noch ein wenig theoretischer
> begutachtet, so wird man bei dieser Aussage wohl zu dem
> Begriff der lokalkompakten Räumen gelangen
Also damit man überhaupt beide Begriffe, "lokal glm. Konvergenz" und "kompakte Konvergenz" hat, bietet es sich ja Funktionenfolgen in [mm] $B(X,E):=\{f:X\to E\mid f\text{ beschränkt}\}$ [/mm] zu betrachten, wobei X ein topologischer und E ein normierter Raum ist.
Dann gilt auf jeden Fall [mm] $f_k\to [/mm] f$ lokal gleichmäßig [mm] \Rightarrow $f_k\to [/mm] f$ kompakt und der Beweis geht genauso wie du es angedeutet hast. Welche andere Charakterisierung von Kompaktheit soll man in allgemeinen topologischen Räumen auch nehmen?
Die andere Richtung gilt dann aber natürlich, falls X lokalkompakt ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Do 11.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> Also damit man überhaupt beide Begriffe, "lokal glm.
> Konvergenz" und "kompakte Konvergenz" hat, bietet es sich
> ja Funktionenfolgen in [mm]B(X,E):=\{f:X\to E\mid f\text{ beschränkt}\}[/mm]
> zu betrachten, wobei X ein topologischer und E ein
> normierter Raum ist.
>
> Dann gilt auf jeden Fall [mm]f_k\to f[/mm] lokal gleichmäßig
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f_k\to f[/mm] kompakt und der Beweis geht genauso
> wie du es angedeutet hast. Welche andere Charakterisierung
> von Kompaktheit soll man in allgemeinen topologischen
> Räumen auch nehmen?
ich hatte gemeint, dass man, wenn man die obigen Funktionenfolgen "nur" als Funktionen [mm] $\IK^m \to \IK^n$ ($\IK=\IR$ [/mm] oder [mm] $\IK=\IC$) [/mm] betrachtet, dass man dann vll. auch versuchen kann, die Aussage "lokal glm. Kgz. [mm] $\gdw$ [/mm] kompakte Kgz." auch auf anderem Wege zu beweisen. Es erscheint vll. nicht sinnvoll und vll. geht's auch (so gut wie) gar nicht, aber versuchen schadet ja nie. Und wenn's nur die Erfahrung ist, aus der man lernt
> Die andere Richtung gilt dann aber natürlich, falls X
> lokalkompakt ist.
Klar. Wie gesagt: Ich meinte, dass man unter gewissen Bedingungen auch versuchen könnte, so etwas wie, dass kompakt gleichbedeutend mit
[mm] $\bullet$ [/mm] beschränkt und abgeschlossen
[mm] $\bullet$ [/mm] jede Folge hat eine konvergente Teilfolge
.
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.
etc. pp. zu verwenden, um einzusehen, dass die lokal glm. Kgz. auch die kompakte nach sich zieht. Ohne mir allerdings auch nur den Hauch eines Gedanken gemacht zu haben, ob bzw. inwiefern das hier geht, sinnvoll sein könnte. Obwohl ich vom Gefühl her auch direkt sagen würde: Mein obiger Vorschlag ist vll. der "sinnvollste", alles andere macht's jedenfalls nicht einfacher.
Nur Fakt ist einfach: Wenn jmd. an solche Dinge gar nicht erst denkt oder sich nicht daran versucht, weil's von vornherein abgelehnt wird, so kann man gewissen Erfahrungen "aus dem Weg gehen". Entweder die Erkenntnis, warum man so nicht weiterkommt (meistens gelangt man an irgendeiner Stelle zu einem Aha-Erlebnis, und das prägt sich dann ein), oder aber es kann sein, dass man durch Zufall so zu neuen Erkenntnissen gelangt. Ich bin überzeugt, dass viele Aussagen/Erkenntnisse in der Mathematik entstanden sind, als man sich mit einem ganz anderen Problem befasst hat. Dabei kamen quasi andere Ergebnisse als "Nebenprodukt" zufällig heraus, und irgendwann erkannte irgendwer, dass dieses Nebenprodukt in Wahrheit doch ein nicht zu verachtendes Hauptprodukt ist
Beziehe das auch nicht unbedingt auf Dich. Ich weiß, dass Du hervorragende Kenntnisse in der Mathematik hast und Dich sowieso sehr viel damit beschäftigst. Aber so manch' andere sollen vll., sollten sie das zufällig lesen, durch solche Kommentare ein wenig dazu angespornt sein, die Übungsaufgaben nicht unbedingt als das Maß aller Dinge zu betrachten. Denn in Wahrheit ist der Sinn der Übungsaufgaben einfach der, dass die Leute gezwungen sind, sich mit dem Inhalt der Vorlesung auseinanderzusetzen, zu lernen, mit dem Stoff "umzugehen" und, wenn's ideal läuft, sich neben den Übungsaufgaben auch noch eigene Gedanken über oder mithilfe des Erlernten zu machen.
Und bei mir ist und war es jedenfalls oft so, dass ich mir gerne einfach auch "alternative Beweise" zusammengebastelt habe, oder es zumindest versucht habe.
Aber ich schweife hier gerade schwer vom eigentlichen Thema ab
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 10.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Nun, ist [mm] $z\in\IC$ [/mm] innerhalb des Konvergenzkreises, d.h. [mm]|z|
Gruß, Robert
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