www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - globaleMax/Differenzierbarkeit
globaleMax/Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

globaleMax/Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mo 12.01.2015
Autor: sissile

Aufgabe
[mm] f:\IR\to\IR [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases} [/mm]
Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm] \IR, [/mm] lokale Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt. Ist f zweimal differenzierbar auf [mm] \mathbb{R}? [/mm]

Hallo,
Würde mich über Korrektur freuen;)

Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm] (3x^2+2x)'=6x+2, [/mm] (8x-3)'=8
Für x=1: Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8 [/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1} [/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein in x=1, also ist f differenzierbar.



Lokale Extrema
f'(x)=0 [mm] \iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases} [/mm]
f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0
Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum


Monotonie
Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend
Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente


globale Max/Min:
Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?
Sonst hab ich ja nur ein lokales Max, was dann doch automatisch auch globales Max ist.


Differenzierbarkeit von f'(x):
f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6 [/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit [mm] y_n\to1(n\to\infty) [/mm] und [mm] y_n<1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1} [/mm]
Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
[mm] =\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein.

LG,
sissi

        
Bezug
globaleMax/Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
>  [mm]f(x)=\begin{cases} 3x^2+2x, & \mbox{für } x\le1 \\ 8x-3, & \mbox{für }x>1 \end{cases}[/mm]
>  
> Überprüfen Sie Differenzierbarkeit auf [mm]\IR,[/mm] lokale
> Extrema, Monotonieverhalten und ob es globale Min/Max gibt.
> Ist f zweimal differenzierbar auf [mm]\mathbb{R}?[/mm]
>  Hallo,
>  Würde mich über Korrektur freuen;)
>  
> Die Differenzierbarkeit für x>1,x<1 ist klar als
> Verknüpfung differenzierbarer Funktionen: [mm](3x^2+2x)'=6x+2,[/mm]
> (8x-3)'=8
>  Für x=1: Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in
> [mm]\mathbb{R}[/mm] mit [mm]x_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8x_n-3-5}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8(x_n-1)}{x_n-1}=8[/mm]
>  
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)und y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f(y_n)-f(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3y_n^2+2y_n-5}{y_n-1}[/mm]
>  
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:
>  [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6y_n+2}{1}=8[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung stimmen überein
> in x=1, also ist f differenzierbar.

O.K.


>  
>
>
> Lokale Extrema
>  f'(x)=0 [mm]\iff \begin{cases}6x+2=0 &\Rightarrow L=\{-1/3\} \\ 8=0, & \Rightarrow L=\{\emptyset\} \end{cases}[/mm]
>  
> f''(-1/3)=6*(-1/3)=-2<0

das stimmt nicht. Es ist  f''(-1/3)=6>0.


>  Bei x=-1/3 ist ein lokales Maximum
>  
>
> Monotonie
>  Für x>-1/3 ist f(x) streng monoton steigend
>  Für x<-1/2 ist f(x) streng monoton fallend

Da hast Du Dich sicher vertippt. Es lautet: Für  x<-1/3 ....




>  Für x=-1/3 haben wir eine horizintale Tangente
>  
>
> globale Max/Min:
>  Zähle ich hier die Randpunkt auch dazu?

Welche Randpunkte ? [mm] \IR [/mm] hat keine Randpunkte.


>  Sonst hab ich ja nur ein lokales Max


Nein. Ein lokales Min.

> , was dann doch
> automatisch auch globales Max ist.

glabales Min.


>  
>
> Differenzierbarkeit von f'(x):
>  f'(x) ist in x=1 nicht differenzierbar,da:
>  Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]x_n\to1(n\to\infty)und x_n>1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(x_n)-f'(1)}{x_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6x_n+2-8}{x_n-1}= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{6(x_n-1)}{x_n-1}=6[/mm]
>  
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]y_n\to1(n\to\infty)[/mm] und [mm]y_n<1 \forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{f'(y_n)-f'(1)}{y_n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm]
>  
> Da Zähler und Nenner gegen 0 konv, verwende ich Hospital:

Waaaaas ???? Für

    [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8-8}{y_n-1}[/mm] [/mm]

bemühst Du l'Hospital ? Nicht zu fassen !

Es ist  [mm] \frac{8-8}{y_n-1} [/mm] =0 für alle n.


>  [mm]=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{0}{1}=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht
> überein.

O.K.


FRED

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
globaleMax/Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Mo 12.01.2015
Autor: sissile

danke;)
lg, sissi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de