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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 03.11.2007 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | In einer Fabrik wird ein neues Herstellungsverfahren eingeführt, welches den Ausschussanteil auf 20% senken soll.
Um zu überprüfen, ob der Ausschussanteil tatsächlich gesenkt wurde (Nullhypothese: H0: p=0,25), wird der Produktion eine Stichprobe vom Umfang n=100 entnommen. Bestimmen Sie auf dem Signifikanzniveau alpha=0,05 eine Enstscheidungsregel und bestimmen Sie den Annahmebereich. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl der Ausschuss tatsächlich auf 20% gesenkt wurde. |
Hallo,
ansich ist die Aufgabe recht klar, allerdings frage ich mich, ob ich in diesem Fall den Annahmebereich über die globale Näherung oder über eine Untersuchung der Umgebung der Standardabweichung berechen soll, und wo da jeweils der Unterscheid liegt:
global:
[mm] \Phi(\bruch{k+0,5-100*0,25}{\wurzel{100*0,25*0,75}}) \le [/mm] 0,05
und
[mm] \Phi(\bruch{k-1+0,5-100*0,25}{\wurzel{100*0,25*0,75}}) \ge [/mm] 0,95
wenn ich mich nicht vertan habe krieg ich einen Bereich von:
19-31 heraus.
[mm] \mu=100*0,25
[/mm]
[mm] \sigma=\wurzel{100*0,25*0,75}
[/mm]
nun über die [mm] 1,64-\sigma-Umgebung [/mm] (für 90% Wahrscheinlichkeit):
[mm] \mu-1,64\sigma=17,9
[/mm]
[mm] \mu+1,64\sigma=32,1
[/mm]
nun über die [mm] 1,96-\sigma-Umgebung [/mm] (für 95% Wahrscheinlichkeit):
[mm] \mu-1,96\sigma=16,51
[/mm]
[mm] \mu+1,96\sigma=33,49
[/mm]
und über die [mm] 2,58-\sigma-Umgebung [/mm] (für 99% Wahrscheinlichkeit):
[mm] \mu-2,58\sigma=13,83
[/mm]
[mm] \mu+2,58\sigma=36,17
[/mm]
Welche [mm] x-\sigma-Umgebung [/mm] muss ich entsprechend für [mm] \alpha=0,05 [/mm] wählen ?
Die 1,96er ?
Ist es hier überhaupt erlaubt die "Umgebungs-methode" anzuwenden, da ja ansich kein wirklich guter Erwartungswert vorliegt?
vielen Dank für eure Hilfe im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Sa 03.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Peter,
welche Eigenschaften sollte die Stichprobe (Sp) haben, damit wir [mm] $H_0$
[/mm]
verwerfen? Offenbar sprechen *wenig* defekte Stuecke in der Sp gegen die Hypothese. Also ist ein $k$ zu suchen, dass gilt [mm] $P(X\le k\mid
[/mm]
p=0.25)= 0.05$. Dabei ist $X$ die Anzahl defekter Stuecke unter den
$n=100$ Teilen. Da $X$ binomial-, und somit diskret verteilt ist, wird es
vermutlich kein $k=0,1,2,...,100$ gegen, welches die estimmungsgleichung
exakt erfuellt.
Deinen Ausfuehrungen entnehme ich, dass dir die Approximation der
Binomialverteilung durch die Normalverteilung gelaeufig ist. Danach
koennen wir schreiben
[mm] $P(X\le k\mid p=0.25)\approx \Phi(\bruch{k+0,5-100\cdot{}0,25}{\wurzel{100\cdot{}0,25\cdot{}0,75}})=0.05$,
[/mm]
woraus $k=17.37$ folgt. Die Entscheidungsregel lautet folglich:
Verwirf [mm] $H_0$, [/mm] wenn die Anzahl defekter Stuecke hoechstens 17
ist.
Im zweiten Teil ist [mm] $P(X>17\mid [/mm] p=0.2)$ gesucht. *Ich* berechne
[mm] $P(X>17\mid p=0.2)=1-P(X\le17\mid p=0.2)\approx 1-\Phi(\bruch{17+0,5-100\cdot{}0,20}{\wurzel{100\cdot{}0,2\cdot{}0,8}})=0.7340$.
[/mm]
lg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:35 So 04.11.2007 | | Autor: | bonanza |
vielen Dank für deine Antwort!
Allerdings habe ich nun noch die Frage, ob ich das wie in meinem 1. Post ziemlich gegen Ende, diesen Annahmebereich auch einfach über die [mm] \sigma-Umgebung [/mm] bestimmen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 So 04.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Allerdings habe ich nun noch die Frage, ob ich das wie in
> meinem 1. Post ziemlich gegen Ende, diesen Annahmebereich
> auch einfach über die [mm]\sigma-Umgebung[/mm] bestimmen kann?
Hier bin ich ueberfragt, da mir der Begriff [mm]\sigma[/mm]-Umgebung nicht
gelaeufig ist. Ich sehe nur, dass du verschiedene [mm] $\alpha$-Werte [/mm] durchspielst
und anscheinend zweiseitige Verwerfbereiche berechnest, obwohl der Test
mit einem einseitigen durchzufuehren ist, inb der Hoffnung, etwas Richtiges dabei zu haben.
Deine Ausfuehrungen deuten fuer mich etwas darauf hin, dass du die ganze "Testphilosophie"
noch nicht recht durchschaust. Ich weiss auch nicht, was ein "kein wirklich guter Erwartungswert"
ist.
Vielleicht kann ja ein anderer dir weiterhelfen.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 06.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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