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goldener Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 So 14.09.2008
Autor: Riley

Aufgabe
Die zehnte Einheitswurzel [mm] \zeta [/mm] := [mm] exp(\frac{2 \pi i}{10}) [/mm] erfüllt 0 = [mm] \zeta^5 [/mm] + 1 = [mm] (\zeta [/mm] + [mm] 1)(\zeta^4 [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] - [mm] \zeta [/mm] +1), wegen [mm] \zeta+1 \not= [/mm] 0, also auch 0 = [mm] \zeta^4 [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] - [mm] \zeta [/mm] + 1. Natürlich ist außerdem [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1} [/mm] = [mm] 2cos(\frac{2 \pi}{10}). [/mm]
Leite daraus eine Gleichung [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 mit p,q [mm] \in \mathb{Q} [/mm] ab, die von 2 [mm] cos(\frac{2 \pi }{10}) [/mm] erfüllt wird.

Hallo liebe Algebra-Freunde,
mein Ansatz wäre nun:
[mm] (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1})^2 [/mm] + p [mm] (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) [/mm] + q = 0

[mm] \gdw \zeta^2 [/mm] + 2 [mm] \zeta \zeta^{-1}+ \zeta^{-2} [/mm] + [mm] p\zeta [/mm] + [mm] p\zeta^{-1} [/mm] + q = 0

[mm] \gdw \zeta^2 [/mm] + 2 + [mm] \zeta^{-2} [/mm] + [mm] p\zeta [/mm] + [mm] p\zeta^{-1} [/mm] + q = 0

Wie kann ich aber nun die Information von oben einbauen, um p und q zu finden?

Viele Grüße,
Riley

        
Bezug
goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 So 14.09.2008
Autor: pelzig


> Die zehnte Einheitswurzel [mm]\zeta[/mm] := [mm]exp(\frac{2 \pi i}{10})[/mm]
> erfüllt 0 = [mm]\zeta^5[/mm] + 1 = [mm](\zeta[/mm] + [mm]1)(\zeta^4[/mm] - [mm]\zeta^3[/mm] +
> [mm]\zeta^2[/mm] - [mm]\zeta[/mm] +1), wegen [mm]\zeta+1 \not=[/mm] 0, also auch 0 =
> [mm]\zeta^4[/mm] - [mm]\zeta^3[/mm] + [mm]\zeta^2[/mm] - [mm]\zeta[/mm] + 1. Natürlich ist
> außerdem [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}[/mm] = [mm]2cos(\frac{2 \pi}{10}).[/mm]
>  
> Leite daraus eine Gleichung [mm]x^2[/mm] + px + q = 0 mit p,q [mm]\in \mathb{Q}[/mm]
> ab, die von 2 [mm]cos(\frac{2 \pi }{10})[/mm] erfüllt wird.
>  Hallo liebe Algebra-Freunde,
>  mein Ansatz wäre nun:
>  [mm](\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1})^2[/mm] + p [mm](\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1})[/mm] + q = 0
>  
> [mm]\gdw \zeta^2[/mm] + 2 [mm]\zeta \zeta^{-1}+ \zeta^{-2}[/mm] + [mm]p\zeta[/mm] +
> [mm]p\zeta^{-1}[/mm] + q = 0
>  
> [mm]\gdw \zeta^2[/mm] + 2 + [mm]\zeta^{-2}[/mm] + [mm]p\zeta[/mm] + [mm]p\zeta^{-1}[/mm] + q =
> 0
>  
> Wie kann ich aber nun die Information von oben einbauen, um
> p und q zu finden?

Wenn [mm] $\xi:=\zeta+\zeta^{-1}$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms [mm]p(x)[/mm] sein soll, dann kannst du doch [mm]p[/mm] in Linearfaktoren zerlegen: [mm] $$p(x)=(x-\xi)(x-\chi)$$Dabei [/mm] ist [mm] $\chi$ [/mm] die andere Nullstelle, die du nun noch so auswählen musst, dass nach ausmultiplizieren [mm] $p,q\in\IQ$ [/mm] sind.

Gruß, Robert

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goldener Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 So 14.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe es nun so vesucht:
p(x) = [mm] (x-\xi)(x-\tau) [/mm]
= [mm] x^2-(\tau [/mm] + [mm] 2cos(\frac{2\pi}{10}))x [/mm] + 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) \tau [/mm]

D.h. [mm] p=\tau [/mm] + 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) [/mm] und q = 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) \tau [/mm] ??
Aber wie kann ich jetzt einfach eine zweite Nullstelle [mm] \tau [/mm] finden, so dass p und q rational sind? Nur probieren? Und für was sind die ganzen anderen Angaben in der Aufgabe?

Viele Grüße & vielen Dank
Riley

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goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 So 14.09.2008
Autor: MathePower

Hallo Riley,

> Hallo,
>  danke für die schnelle Antwort. Ich habe es nun so
> vesucht:
>  p(x) = [mm](x-\xi)(x-\tau)[/mm]
>  = [mm]x^2-(\tau[/mm] + [mm]2cos(\frac{2\pi}{10}))x[/mm] + 2
> [mm]cos(\frac{2\pi}{10}) \tau[/mm]
>  
> D.h. [mm]p=\tau[/mm] + 2 [mm]cos(\frac{2\pi}{10})[/mm] und q = 2
> [mm]cos(\frac{2\pi}{10}) \tau[/mm] ??
>  Aber wie kann ich jetzt einfach eine zweite Nullstelle
> [mm]\tau[/mm] finden, so dass p und q rational sind? Nur probieren?
> Und für was sind die ganzen anderen Angaben in der
> Aufgabe?


Gehen wir von der Gleichung

[mm]\zeta^{4}-\zeta^{3}+\zeta^{2}-\zeta+1=0[/mm]

Es fällt auf, daß dieses Polynom symmetrisch ist:

[mm]\blue{1}*\zeta^{4}+\green{\left(-1\right)}\zeta^{3}+\zeta^{2}+\green{\left(-1\right)}\zeta+\blue{1}=0[/mm]

Da [mm]\zeta \not= 0[/mm] können wir hier durch [mm]\zeta^{2}[/mm] dividieren und erhalten:

[mm]\blue{1}*\zeta^{2}+\green{\left(-1\right)}\zeta+1+\green{\left(-1\right)}\zeta^{-1}+\blue{1}\zeta^{-2}=0[/mm]

Nun fassen wir zusammen:

[mm]\blue{1}*\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)+\green{\left(-1\right)}\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)+1=0[/mm]

Durch die Substitution [mm]x=\zeta+\zeta^{-1}[/mm] erhalten wir ein quadratisches Polynom in x.


>  
> Viele Grüße & vielen Dank
>  Riley


Gruß
MathePower

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goldener Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine schnelle Lösung! Warum ist es wichtig, dass das Polynom symmetrisch ist? Symmetrisch bedeutet doch, dass man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann ohne das Polynom zu verändern, oder?? ... das ist mir hier noch nicht so ganz klar... vielleicht kannst du dazu bitte noch etwas schreiben? Das wäre super :-)
Viele Grüße,
Riley

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Bezug
goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Mo 15.09.2008
Autor: MathePower

Hallo Riley,

> Hallo Mathepower,
>  vielen Dank für deine schnelle Lösung! Warum ist es
> wichtig, dass das Polynom symmetrisch ist? Symmetrisch
> bedeutet doch, dass man die Unbestimmten untereinander
> vertauschen kann ohne das Polynom zu verändern, oder?? ...

Ein Polynom

[mm]a_{n}*\zeta^{n} + a_{n-1}*\zeta^{n-1}+ \ \dots \ + a_{1}*\zeta +a_{0}[/mm]

ist symmetrisch, wenn

[mm]a_{k}=a_{n-k}, 0 \le k \le n-k[/mm]

Für n=4 also:

[mm]a_{0}=a_{4}, \ a_{1}=a_{3}, \ a_{2}=a_{2}[/mm]


Um das Polynom 4. ten Grades auf ein quadratisches Polynom zurückführen zu können,
ist es wichtig, daß das Polynom 4. Grades symmetrisch ist.


> das ist mir hier noch nicht so ganz klar... vielleicht
> kannst du dazu bitte noch etwas schreiben? Das wäre super
> :-)
>  Viele Grüße,
>  Riley


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo Mathepower,
ok, vielen Dank für die Erklärung, jetzt ists klar!
Viele Grüße,
Riley

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goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 So 14.09.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Riley,

erlaube mir zunächst einmal,  x zu schreiben statt [mm] \zeta. [/mm]

Dann haben wir also die beiden Gleichungen

           (1)  [mm] x^4-x^3+x^2-x+1=0 [/mm]

           (2)  [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] = u

mit  [mm] u=2*cos(\pi/5) [/mm]  und sollen nun daraus eine in u quadratische
Gleichung machen, welche das  x  nicht mehr enthält.

Erweitert man Gleichung (2)  mit  x , so hat man:

           (3)  [mm] x^2+1=u*x [/mm]      bzw.  [mm] x^2=u*x-1 [/mm]

Die Gleichung  (1) kann man schreiben als:

           (4)  [mm] (x^2+1)*(x^2-x)+1=0 [/mm]

Wegen  (3)  folgt daraus

           (5)  [mm] u*x*(x^2-x)+1=0 [/mm]

Nun kann man die Beziehung  (3) weiter benützen,
um die höheren Potenzen von x durch niedrigere zu
ersetzen, und, simsalabim, auf einmal kann man alle
verbliebenen  x  wegkürzen und hat die gewünschte
Gleichung des Goldenen Schnitts.


LG



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Bezug
goldener Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 So 14.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
vielen Dank für deine schöne übersichtliche Antwort!

Ich steh nur grad noch etwas auf dem Schlauch, wie ich nun weiter umformen/einsetzen muss. Denn wenn ich (3) für (5) benutze, dann kann macht das ja keinen Sinn - oder muss ich das nun in (1) einsetzen um die höheren Potenzen wegzubekommen. War das so gemeint?

Viele Grüße & vielen Dank,
Riley

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goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 So 14.09.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
> vielen Dank für deine schöne übersichtliche Antwort!
>  
> Ich steh nur grad noch etwas auf dem Schlauch, wie ich nun
> weiter umformen/einsetzen muss. Denn wenn ich (3) für (5)
> benutze, dann kann macht das ja keinen Sinn - oder muss ich
> das nun in (1) einsetzen um die höheren Potenzen
> wegzubekommen. War das so gemeint?
>  
> Viele Grüße & vielen Dank,
> Riley




Gut; ich setze die angefangene Umformung fort:

           (1)  [mm] x^4-x^3+x^2-x+1=0 [/mm]

           (2)  [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] = u

Erweitert man Gleichung (2) mit  x , so hat man:

           (3)  [mm] x^2+1=u*x [/mm]    bzw.  [mm] x^2=u*x-1 [/mm]

Die Gleichung (1) kann man schreiben als:

           (4)  [mm] (x^2+1)*(x^2-x)+1=0 [/mm]

Wegen (3) folgt daraus

           (5)  [mm] u*x*(x^2-x)+1=0 [/mm]

Das [mm] x^2 [/mm] nach (3) durch [m]\ u*x-1[/m]  ersetzen ergibt

           (6) [m]\ u*x*(u*x-1-x)+1=0 [/m]

ausmultipliziert:

           (7)  [mm] u^2*x^2-u*x-u*x^2+1=0 [/mm]

Nochmals (3) in umgekehrter Richtung anwenden:

           (8)  [mm] u^2*x^2-(x^2+1)-u*x^2+1=0 [/mm]

zusammengefasst:

           (9)  [mm] u^2*x^2-x^2-u*x^2=0 [/mm]

durch [mm] x^2 [/mm] dividiert und geordnet:

           (10) [mm] u^2-u-1=0 [/mm]


Die positive Lösung dieser Gleichung ist  [mm] u_1=\bruch{\wurzel{5}+1}{2} [/mm]
und also
           [m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]

Da man eine Strecke der Länge [mm] \wurzel{5} [/mm] mittels Pythagoras und
deshalb auch die Strecke  cos(36°) leicht mit Zirkel und
Lineal konstruieren kann, ist auch das regelmässige Zehneck
und das regelmässige Fünfeck ZL-konstruierbar. Darum ging es
ja wohl nebenbei bei dem ganzen Thema.

LG    [hut]


  


















Bezug
                                
Bezug
goldener Schnitt: kürzer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Mo 15.09.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Es geht auch kürzer, wie MathePower gemeldet hat ...


Bezug
                                
Bezug
goldener Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort, jetzt habe ich es verstanden! Ich hatte nicht gesehen, wo ich was genau einsetzen gemusst hätte.
Eine kleine Rückfrage hab ich aber noch. Warum gilt das hier:

> [m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]

Ist cos(36°) so ein Wert den man kennen sollte, oder wie hast du das gewusst um diese Gleichungskette hinzuschreiben...??
Ja, danke für die Erklärung mit der ZL-Konstruktion, das ist  gut :-)

Viele Grüße,
Riley



Bezug
                                        
Bezug
goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Mo 15.09.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  vielen Dank für deine ausführliche Antwort, jetzt habe ich
> es verstanden! Ich hatte nicht gesehen, wo ich was genau
> einsetzen gemusst hätte.
>  Eine kleine Rückfrage hab ich aber noch. Warum gilt das
> hier:
>  
> > [m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]

Aus der Rechnung geht ja hervor, dass  [mm] u=cos(\bruch{2*\pi}{10}) [/mm] eine
Lösung der entstandenen quadratischen Gleichung

         [mm] u^2-u-1=0 [/mm]

sein muss - natürlich die positive. Und die quadratische
Gleichung kann man ja leicht lösen !
  

> Ist cos(36°) so ein Wert den man kennen sollte,

         sicher nicht so wichtig wie die Werte für
         30°, 45°, 60°  -   aber im Zusammenhang
         mit der Konstruktion des regelmässigen
         Fünfecks interessant (es kommt [mm] \wurzel{5} [/mm] vor;
         analog kommt beim regelmässigen Dreieck [mm] \wurzel{3} [/mm]
         vor und beim 17-Eck die [mm] \wurzel{17} [/mm] !)


> oder wie
> hast du das gewusst um diese Gleichungskette
> hinzuschreiben...??

         Das habe ich nicht einfach gewusst, sondern
         ein paar Umformungen angestellt, ausgehend
         von derselben Idee, die auch MathePower
         angegeben hat:

         Wenn man  [mm] u=x+\bruch{1}{x} [/mm] setzt, ist [mm] u^2=x^2+2+\bruch{1}{x^2} [/mm]

         Dann habe ich versucht, das Polynom in x durch
         eines in der Variablen u umzusetzen. Dummerweise
         habe ich dabei nicht von vorneweg durch [mm] x^2 [/mm] dividiert.

>  Ja, danke für die Erklärung mit der ZL-Konstruktion, das
> ist  gut :-)
>  
> Viele Grüße,
>  Riley


Schönen Abend !

Al-Chwarizmi

Bezug
                                                
Bezug
goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hi Al-Chwarizmi,
ahso, okay, besten Dank! Das mit den Ecken und Wurzeln ist wirklich interessant...
Danke, dir auch einen schönen Abend!
Viele Grüße,
Riley

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Bezug
goldener Schnitt: kubische Gleichung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
sorry - ich hab doch noch eine Frage. Und zwar kann man angeblich in ähnlicher Weise eine kubische Gleichung [mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + bx + c = 0 mit a,b,c [mm] \in [/mm] Q finden, die von 2 [mm] cos(\frac{2 \pi}{7}) [/mm] erfüllt wird.

Ich hab das nun so versucht:
Die 7.Einheitswurzel ist also gegeben durch [mm] \xi:= e^{2 \pi i / 7} [/mm] und es gilt [mm] \xi [/mm] + [mm] \xi^{-1} [/mm] = 2 [mm] cos(\frac{2 \pi}{7}). [/mm] Das stimmt, oder?

Wenn ich nun die Gleichung durch [mm] \xi [/mm] teile, erhalte ich

[mm] \xi^3 [/mm] - [mm] \xi^2 [/mm] + [mm] \xi [/mm] -1 + [mm] \xi^{-1} [/mm] = 0.

Damit komm ich aber nun nicht weiter, geht es auf diesem Wege wirklich nicht?

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                
Bezug
goldener Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mo 15.09.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  sorry - ich hab doch noch eine Frage. Und zwar kann man
> angeblich in ähnlicher Weise eine kubische Gleichung [mm]x^3[/mm] +
> [mm]ax^2[/mm] + bx + c = 0 mit a,b,c [mm]\in[/mm] Q finden, die von 2
> [mm]cos(\frac{2 \pi}{7})[/mm] erfüllt wird.
>  
> Ich hab das nun so versucht:
>  Die 7.Einheitswurzel ist also gegeben durch [mm]\xi:= e^{2 \pi i / 7}[/mm]
> und es gilt [mm]\xi[/mm] + [mm]\xi^{-1}[/mm] = 2 [mm]cos(\frac{2 \pi}{7}).[/mm] Das
> stimmt, oder?
>  
> Wenn ich nun die Gleichung durch [mm]\xi[/mm] teile, erhalte ich
>  
> [mm]\xi^3[/mm] - [mm]\xi^2[/mm] + [mm]\xi[/mm] -1 + [mm]\xi^{-1}[/mm] = 0.

        dies ist nicht die richtige Gleichung für den Fall n=7 !
  

> Damit komm ich aber nun nicht weiter, geht es auf diesem
> Wege wirklich nicht?
>  
> Viele Grüße,
>  Riley


Hallo Riley,

genau das - für das regelmässige Siebeneck - habe
ich gestern Abend auch noch versucht. Die Gleichung
für die siebten Einheitswurzeln ist  [mm] x^7-1=0 [/mm] oder

       [mm] (x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0 [/mm]

Die echt komplexen "Wurzeln" sind also die Lösungen
der Gleichung

            {1}  [mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 [/mm]

Wenn man diese durch  [mm] x^3 [/mm]  dividiert, hat man:

            (2)  [mm] x^3+x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}=0 [/mm]

Für  [mm] u=x+x^{-1} [/mm] gilt:

            (3)  [mm] u^2=x^2+2+x^{-2} [/mm]

            (4)  [mm] u^3=x^3+3x+3x^{-1}+x^{-3} [/mm]

Die Gleichung (2) kann mittels (2) und (3) in die
kubische Gleichung

            (5)  [mm] u^3+u^2-2u-1=0 [/mm]

für u überführt werden. Da sich diese Gleichung aber
nicht mittels Quadratwurzeln allein auflösen lässt,
folgt mittelbar, dass das regelmässige 7-Eck nicht
ZL-konstruierbar ist.

LG


(In der ersten Version dieses Artikels war ein Fehler,
den ich nachträglich korrigiert habe)



Bezug
                        
Bezug
goldener Schnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Mo 15.09.2008
Autor: Riley

Hallo,
vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe - jetzt hab ichs endgültig verstanden! :-) Sehr cool.
Viele Grüße,
Riley

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