gradf von symm. matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{d x d} [/mm] symmetrisch, und es sei f : [mm] \IR^d \to \IR [/mm] defe niert durch
f(x) := x^TAx (x [mm] \in \IR^d) [/mm] :
Berechnen Sie gradf(x) für x [mm] \in R^d [/mm] |
naja ich kann ja mal so anfangen, d=1 [mm] \Rightarrow x*a11*x=a_{11}*x^2=f(x)
[/mm]
f'(x)=2*a11*x
nunja für d>1 wirds aber schwerer
[mm] x^TAx=\summe_{i=1}^{d}\summe_{j=1}^{d}a_{ij}x_i*x_j
[/mm]
nunja am schluss soll da auch wieder sowas wie 2Ax rauskommen,
also iwie muss man ja noch die symmetrie reinbringen [mm] a_{ij}=a_{ji}
[/mm]
aber zb bei d=2 kam bei mir sowas raus
[mm] f(x,y)=a11*x^2+2*a12*x*y+a22*y^2
[/mm]
das problem ist eben das beim ableiten die stellen [mm] i\not=j [/mm] beim ableiten nicht wegfallen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 21.06.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
$ f(x) := [mm] x^TAx=\summe_{i,j=1}^{d}a_{ij}x_i*x_j$ [/mm] ist der richtige Ansatz. Leite $f$ partiell nach [mm] $x_k$, $k=1,\dots,d$, [/mm] ab, also
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_k} (x)=\dots$
[/mm]
Am besten überlegt man sich das so: wähle [mm] $k\in\{1,\dots,d\}$ [/mm] beliebig und fest. Für [mm] $x_i=x_k$ [/mm] ist [mm] $\summe_{i,j=1}^{d}a_{ij}x_i*x_j [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^d a_{kj}x_j x_k$. [/mm] Diesen Ausdruck kann man nun ganz leicht nach [mm] $x_k$ [/mm] ableiten.
Das selbe Spiel für [mm] $x_j=x_k$.
[/mm]
Die Kombination der beiden Fälle, die Symmetrie von A und die Definition des Gradienten ergeben dann [mm] $\nabla [/mm] f=2Ax$, wie bereits von dir gesehen.
Du kannst das erstmal im Fall $d=2$ durchspielen, falls dir das hilft, aber den Beweis musst du schon so "abstrakt" führen.
Gruß, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 21.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
danke, ich habs sogar nachvollziehen können :)
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