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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - green' Fkt/ Rekurrenz
green' Fkt/ Rekurrenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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green' Fkt/ Rekurrenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:28 Sa 19.01.2019
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei X eine zeitlich homogene Markov-Kette mit Zustandsmenge S und Übergangsmatrix K. Wir setzen

[mm] G(x,y|z)=\sum_{n\ge 0}K^n(x,y)z^n\; und\; R(x,y|z)=\sum_{n\ge 0}P_x(\tau_{y,1}=n)z^n [/mm]

für [mm] x,y\in [/mm] S und alle [mm] z\in\IC [/mm] sofern die Summen konvergieren.

a) Zeige

[mm] R(x,y|z)=K(x,y)z+\sum_{w\in S, y\not=y}K(x,w)zR(w,y|z) [/mm]

für alle [mm] x,y\in [/mm] S
b) Zeigen Sie, dass [mm] R(x,y|z)\ge [/mm] R(x,w|z)R(w,y|z) für verschiedene [mm] x,y,w\in [/mm] S gilt.

c) Ein Zustand w heißt Schnittpunkt von x nach y, wenn jedes Tupel [mm] (x_0,...,x_n)von [/mm] Zuständen mit [mm] x_0=x, x_n=y [/mm] und [mm] x_0\rightarrow x_1,...,x_n [/mm] stets w enthält.
Zeige, dass R(x,y|z)=R(x,w|z)R(w,y|z) für verschiedene [mm] x,y,w\in [/mm] S gilt, wenn w Schnittpunkt von x nach y ist.
d) Zeige: Ist [mm] x\in [/mm] S  rekurrent, dann gilt [mm] E_x(\tau_{x,1})=\bruch{d}{dz}R(x,x|z)|_{z=1-}. [/mm]
e) Räumliche Homogenität: Es sei [mm] S=\IZ [/mm] und es gelte K(x,y)=K(x+w,z+w) für alle [mm] x,y,w\in \IZ. [/mm] Zeige, dass G(x+w, y+w|z)=G(x,y|z) und R(x+w,y+w|z)=R(x,y|z) für alle [mm] x,y,w\in\IZ [/mm] gilt

Hallo zusammen,

k-te Eintrittszeit ist folgend definiert: [mm] \tau_{x,k}=inf\{n>\tau_{x,k-1}: X_n=x\} [/mm]
Für [mm] x,y\in [/mm] S sei [mm] R(x,y)=P_X(\tau_{y,1}<\infty). [/mm] Außerdem ist
[mm] V_X=|\{ n\ge 0: X_n=x\}|=\sum_{n\ge 0} 1_{X_n=x} [/mm] ist die Anzahl der Besuche.
Die Greensche Fkt.  [mm] G(x,y)=E_X(V_y)=\sum_{n\ge 0}P_X(X_n=y)=\sum_{n\ge 0}K^n(x,y) [/mm]

a) [mm] R(x,y|z)\overset{Def}{=}\sum_{n\ge 0}P_x(\tau_{y,1}=n)z^n=P_x(\tau_{y,1}=0)+ P_x(\tau_{y,1}=1)z+P_x(\tau_{y,1}=2)z^2+...=\sum_{n\ge 0}P_x(\tau_{y,1}<\infty, X_n=x)z^n=\underbrace{P_x(\tau_{y,1}<\infty, X_n=x)}_{K(x,y)}z +\sum_{n\ge 2}P_x(\tau_{y,1}<\infty, X_n=x)z^n [/mm]

Komme einach nicht weiter...Kann mir jemand einen Tipp geben?

        
Bezug
green' Fkt/ Rekurrenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:02 Sa 19.01.2019
Autor: mimo1

e)  [mm] G(x+w,y+w|z)=\sum_{n\ge 0} K^n(x+w,y+w)z^n\overset{Vor.}{=}\sum_{n\ge 0}K^n(x,y)z^n=G(x,y) [/mm]

[mm] R(x+w,y+w)=\underbrace{K(x+w,y+w)}_{=K(x,y)}z+\sum_{w\in S,w\not=y}K(x+w,w)zR(w,y+w|z)=...?....=K(x,y)z+\sum_{w\in S,w\not=y}K(x,w)zR(w,y|z) [/mm]

Ich wäre für jeden noch so kleinen Tipp dankbar.


Bezug
                
Bezug
green' Fkt/ Rekurrenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mo 21.01.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
green' Fkt/ Rekurrenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 22.01.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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