grenzwert metrik und integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (fn)n eine Folge in C([0,1]) und sei (gn)n eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen gn: [0,1] --> R. Beweisen oder widerlegen sie.
(i) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel [/mm] fn [mm] \parallel \infty [/mm] = 0, so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{fn(x) dx}= [/mm] 0.
(ii) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel [/mm] gn [mm] \parallel \infty [/mm] = 0, so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel gn`\parallel \infty [/mm] = 0 |
Hey Leute,
ich hab mich an dieser Aufgabe probiert, aber so richtig komm ich nicht weiter. Ich hab mir bei ii überlegt, dass man den Grenzwert dieser Norm ja auch durch das Integral von 0 bis 1 von den Norm der Ableitung schreiben könnte. Aber so richtig weiter gekommen bin ich nicht, da man den Grenzwert ja net ins integral ziehen darf. Habt ihr allgemein für diese aufgabe einen tip? ich weiß, dass ich wohl abschätzen muss... aber wie... naja. Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Fr 24.04.2009 | | Autor: | pelzig |
i) Es gilt doch [mm] $\left|\int_a^bf(x)\ dx\right|\le |b-a|\cdot\|f\|_\infty$.
[/mm]
ii) Gegenbeispiel: [mm] $g_n(x)=\frac{1}{n}\sin(n^2x)$
[/mm]
Gruß, Robert
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Erstmal lieben lieben Dank.
Also bei (i) diese Abschätzung kenne ich auch aus der Analysis 1, aber es geht hier ja nicht um den Betrag, sondern das Integral allgemein. Zwar ist der Betrag auch größer als das Integral, das Integral aber nicht immer grlößer als 0. Und man bräuchte ja noch was, wo man das Integral nach unten abschätzen kann oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 26.04.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also bei (i) diese Abschätzung kenne ich auch aus der
> Analysis 1, aber es geht hier ja nicht um den Betrag,
> sondern das Integral allgemein. Zwar ist der Betrag auch
> größer als das Integral, das Integral aber nicht immer
> grlößer als 0. Und man bräuchte ja noch was, wo man das
> Integral nach unten abschätzen kann oder?
Ja... [mm]-|x|\le x\le |x|[/mm] gilt immer. Außerdem: Du willst zeigen, dass die reelle Zahlenfolge [mm] \left(\int_a^b f_n(t)\ dt\right)_{n\in\IN} [/mm] gegen 0 konvergiert. Es ist aber [mm] $$\left|\int_a^b f_n(t)\ dt-0\right|=\left|\int_a^b f_n(t)\ dt\right|\le |b-a|\|f\|_\infty<\varepsilon$$ [/mm] für hinreichend große n, da ja [mm] \lim_{n\to\infty}\|f_n\|_\infty=0.
[/mm]
Gruß, Robert
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Ja, jetzt wird es mir klar. Danke nochmal für die Hilfe.
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