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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mi 08.12.2010 | | Autor: | konvex |
Hallo, ich habe hier eine schlußfolgerung, die ich nich verstehe:
Ich habe zwei Fkten [mm] $f(x)\in [/mm] [0,1]$ und [mm] $g(x,n)\in [/mm] [0,1]$. und $g(x,n)$ ist eine stetige Funktion.
Es gilt
[mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $g(x,n)$
wobei $g(x,n)$ für [mm] n->\infty [/mm] eine fallende Fkt ist.
Nun wird daraus gefolgert, dass $f$ oberhalbstetig ist, also dass gilt
es existert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] und [mm] \delta>0 [/mm] sodass
[mm] f(x)\le f(x_0)+\epsilon [/mm] für [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
Kann mir das jemand erklären??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe hier eine schlußfolgerung, die ich nich
> verstehe:
>
> Ich habe zwei Fkten [mm]f(x)\in [0,1][/mm] und [mm]g(x,n)\in [0,1][/mm].
Was sind die Def. bereiche von f bzw g(*,n) ?
Ist n [mm] \in \IN [/mm] ?
Soll
[mm]f(x)\in [0,1][/mm] und [mm]g(x,n)\in [0,1][/mm]
bedeuten, dass die Wertebereiche jeweils [0,1] sind ?
und
> [mm]g(x,n)[/mm] ist eine stetige Funktion.
ich nehem an g hängt stetig von x ab ?
> Es gilt
>
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]g(x,n)[/mm]
>
> wobei [mm]g(x,n)[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] eine fallende Fkt ist.
Und was bitteschön soll das bedeuten ? Wenn ich es wörtlich nehme bedeutet dies. f ist fallend.
Daran glaube ich aber nicht, denn sonst hätte man das gleich so ausdrücken können.
Fragen über Fragen .....
Ich bitte um Aufklärung
FRED
> Nun wird daraus gefolgert, dass [mm]f[/mm] oberhalbstetig ist, also
> dass gilt
>
> es existert ein [mm]\epsilon>0[/mm] und [mm]\delta>0[/mm] sodass
> [mm]f(x)\le f(x_0)+\epsilon[/mm] für [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
>
> Kann mir das jemand erklären??
> Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mi 08.12.2010 | | Autor: | konvex |
Ich habe zwei Fkten [mm]f(x)\in [0,1][/mm] und [mm]g(x,n)\in [0,1][/mm].
> Was sind die Def. bereiche von f bzw g(*,n) ?
Achso entschuldigung:
[mm] n\in\mathbb{N} [/mm] und x [mm] \in[0,1]
[/mm]
und die Wertebereiche sind jeweils [0,1].
$g(x,n)$ ist eine stetige Funktion von x.
Es gilt
[mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]g(x,n)[/mm]
wobei [mm]g(x,n)[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] eine fallende Fkt ist.
> Und was bitteschön soll das bedeuten ?
also umso größen $n$ wird, desto kleiner wird die fkt $g$, also ist sie eine fallende fkt.
f ist jedoch nichtfallend
Also wird nun gefolgert, dass f der grenzwert einer fallenden fkt ist und somit oberhalbstetig ist (was ich nich verstehe).
Ist das genauer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
jetzt bin ich im Bilde ! Ich schreibe lieber [mm] g_n(x) [/mm] statt g(x,n)
Für [mm] g_n [/mm] gilt: [mm] g_{n+1}(x) \le g_n(x) [/mm] für jedes n und jedes x.
Die Idee ist die folgende: da [mm] (g_n(x)) [/mm] von oben gegen f(x) strebt, ist
f(x) [mm] \le g_n(x).
[/mm]
Zu [mm] x_0 [/mm] und zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] g_m(x_0)-f(x_0) [/mm] < [mm] \varepsilon/2
[/mm]
Da [mm] g_m [/mm] in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, gibt es ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $ mit
[mm] g_m(x)-g_m(x_0) [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für $ [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] $
Es ist
$f(x) [mm] \le g_m(x)= g_m(x)-g_m(x_0)+g_m(x_0)-f(x_0)+f(x_0)$
[/mm]
Nun schau Dir das letzte mal für $ [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] $ an.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mi 08.12.2010 | | Autor: | konvex |
Danke, danke, danke.... das scheint logisch  .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke, danke, danke.... das scheint logisch .
Wieso "scheint" ? Es "ist".
FRED
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