grenzwerte von folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 28.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
wie gehe ich bei solchen folgen bei dem grenzwert vor?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Zunächstmal solltest du deine eigenen Lösungsansätze mitposten. Ich kann mir nicht vorstellen, dass du gar keine Ideen zu den Aufgaben hast. Ansonsten solltest du jetzt in den nächsten Tagen einiges nacharbeiten.
Wenn du dann noch die Aufgaben abgetippt hättest, kann man dir auch besser antworten. So ist es leider schwierig, aber ich will die ein paar Tipps geben:
b.) Denke mal an die [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^n
[/mm]
c.)Zunächstmal kannst du zwei Brüche draus machen und überlege dir dann was genau die Fakultät bedeutet. So gilt z.B. [mm] (n+1)!=n!\cdot{}(n+1) [/mm] Damit solltest du viel kürzen können.
d.)Potenzgesetze, ausklammern, kürzen, etc.
e.)Klammere [mm] 1/n^2 [/mm] aus und denk mal an Summenformeln
Jetzt bist du an der Reihe!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 28.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
ich hab solche aufgaben in der form einfach noch nicht gesehen.
dann mal eine konkrete frage zur a:
man könnte ja innerhalb der klammer n ausklammern und wegkürzen. dann bliebe (2 + 3/n) / (2 + 1/n) stehen. und damit dann 1. die potenz n+1 hat mich eben irritiert, aber wenn das in der klammer gegen 1 strebt, dann würde doch auch die ganze folgen gegen 1 konvergieren, da ja immer nur 1*1*1*1*1....rauskommen würde. ist das eine richtige überlegung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 So 28.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hat man
[mm]\bruch{2n+3}{2n-1}[/mm] gegeben, ist jetzt nur ein Beispiel, dann wäre das richtig, da man aber noch einen Exponenten hat, ist dieser zu berücksichtigen, also:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2n+3}{2n-1})^{n+1}[/mm]
Es sollte die bestechende Ähnlichkeit mit dem Grenzwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+1}{n})^{n}[/mm] auffallen, hätte mir auch nicht geschadet...
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:14 So 28.12.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Diese Überlegung ist leider komplett falsch!!
Klassisches Gegenbeispiel: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n=e [/mm] und das obwohl der innere Teil gegen 1 läuft. Also man kann nicht einfach Exponent und Basis getrennt betrachten!
Zu der konkreten Folge: Schreibe um: [mm] (.)^{n+1}=(.)^n*(.)^1 [/mm] Für die rechte Klammer kannst du nun deine Überlegung anwenden, diese läuft tatsächlich gegen 1. Für die erste Klammer musst du noch weiter umformen, bis du auf einen (hoffentlich) bekannten Ausdruck kommst.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
ich soll ja die klammer [mm] ((2n+3)/(3n+1))^n [/mm] umformen.
ich hab die polynomdivision angewendet und bin auf (1 + [mm] 2/(2n+1))^n [/mm] gekommen. bringt mir das etwas oder ist die polynomdivision hier völlig falsch?
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Hallo Thomas,
> ich soll ja die klammer [mm]((2n+3)/(3n+1))^n[/mm] umformen.
> ich hab die polynomdivision angewendet und bin auf (1 +
> [mm]2/(2n+1))^n[/mm] gekommen. bringt mir das etwas oder ist die
> polynomdivision hier völlig falsch?
Nein, das bringt dir sehr viel 
Anstelle der Polynomdivision gibt es einen schönen "Trick", den man immer wieder mal gebrauchen kann:
[mm] $\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{n+1}=\left(\frac{2n+1+2}{2n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{2}{2n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
Das hast du ja - nehme ich an - aufgespaltet in [mm] $(...)^n\cdot{}(...)^1$, [/mm] wobei die zweite Klammer für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 1 strebt
Bleibt die erste Klammer [mm] $\left(1+\frac{2}{2n+1}\right)^n$
[/mm]
Hier hauen wir noch die 2 weg:
[mm] $=\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)^n$
[/mm]
Nun bringen wir das irgendwie in die Form der bekannten Folge, die gegen e konvergiert:
[mm] $=\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)^{n\red{+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}}=\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)^{n+\frac{1}{2}}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $=\left(1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\right)^{n+\frac{1}{2}}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n+\frac{1}{2}}}}$
[/mm]
Was passiert nun hier für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Wie kommt man auf das mit dem Exponenten? Ich weiß nicht, was mir das am Ende bringt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Durch diesen Trick / diese Umformung gelant man wieder zu einer bekannten Folge der Form:
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{\red{k}}\right)^{\red{k}} [/mm] \ \ [mm] \overset{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] \ \ e$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 06.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Jetzt habe ich noch eine Frage zur c.
[mm] \bruch{(n+4)! - (n+2)!}{(n+3)!}
[/mm]
Nun kann ich ja alles etwas umformen und komme auf Folgendes:
[mm] \bruch{(n+3)! * (n+4) }{(n+3)!} [/mm] - [mm] \bruch{(n+2)! }{(n+2)! * (n+3)}
[/mm]
Und durch Kürzen komme ich nun auf:
n+4 - [mm] \bruch{1 }{(n+3)}
[/mm]
Vom Minuend wäre der Grenzwert unendlich und der Subtrahend wäre eine Nullfolge. Also wäre die Folge divergent, oder?
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Hallo Thomas87,
> Jetzt habe ich noch eine Frage zur c.
>
> [mm]\bruch{(n+4)! - (n+2)!}{(n+3)!}[/mm]
>
> Nun kann ich ja alles etwas umformen und komme auf
> Folgendes:
>
> [mm]\bruch{(n+3)! * (n+4) }{(n+3)!}[/mm] - [mm]\bruch{(n+2)! }{(n+2)! * (n+3)}[/mm]
>
> Und durch Kürzen komme ich nun auf:
>
> n+4 - [mm]\bruch{1 }{(n+3)}[/mm]
>
> Vom Minuend wäre der Grenzwert unendlich und der Subtrahend
> wäre eine Nullfolge. Also wäre die Folge divergent, oder?
>
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Di 06.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Zur b:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n² - 1}{n²})^{n^{4}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{n²})^{n^{4}}
[/mm]
Was könnte man damit nun machen?
Ich hatte noch Folgendes probiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{n²})^{n^{2}} [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{n²})^{n^{2}}
[/mm]
Aber das wären ja keine e Folgen wegen dem Minus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Di 06.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Also ist der Grenzwert [mm] e^{-2}?
[/mm]
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Hallo Thomas87,
> Also ist der Grenzwert [mm]e^{-2}?[/mm]
Demnach ja.
Gruß
MathePower
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Hallo Thomas,
ich glaube, uns ist hier allen ein größer Bär aufgebunden worden ...
Der GW ist - denke ich - doch nicht [mm] $e^{-2}$, [/mm] sondern $0$
Es ist nämlich [mm] $\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n^4}=\left[\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{n^2}$
[/mm]
Da haben wir (oder war ich das etwa ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]") ) falsch argumentiert.
Wenn du bedenkst, dass für $a>0$ gilt [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] und dass wegen der Stetigkeit der e-Funktion gilt [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$, [/mm] so kannst du mal das obige [mm] $\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n^4}$ [/mm] umschreiben in [mm] $e^{n^4\cdot{}\ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}$
[/mm]
Dann greife dir den Exponenten heraus und untersuche, was er für [mm] $n\to\infty$ [/mm] anstellt
[mm] $n^4\cdot{}\ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)=\frac{\ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}$
[/mm]
Das strebt bei direktem Grenzübergang gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also kann man die Regel von de l'Hôpital anwenden
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left[\ln\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)\right]'}{\left[\frac{1}{n^4}\right]'}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n(n^2-1)}}{-\frac{4}{n^5}}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{2n^5}{4n(n^2-1)}=-\infty$
[/mm]
Also strebt das [mm] $e^{(...)}$-Biest [/mm] (und damit die Ausgangsfolge) insgesamt gegen [mm] $e^{-\infty}=0$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Ich hab von l'Hôpital und der Sache mit e Funktion noch nie etwas gehört. Kann man die Aufgabe möglicherweise auch einfacher lösen oder geht das nur so?
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> Ich hab von l'Hôpital und der Sache mit e Funktion noch nie
> etwas gehört.
Hallo,
da Du vor einem Monat schon Aufgaben mit e-Funktion gepostet hast, ist "e" bei Euch doch bestimmt drangewesen?
Normalerweise wird [mm] (1+\bruch{1}{n})^n\to [/mm] e für n [mm] \to \infty [/mm] in der Vorlesung gezeigt, oder es wird gesagt [mm] e:=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
L Hospital kann allerdings wirklich nur drangewesen sein, wenn Ihr bereits bei der Differentiation seid.
> Kann man die Aufgabe möglicherweise auch
> einfacher lösen oder geht das nur so?
Ich sehe im Moment keinen Weg ohne e, das heißt aber nicht, daß es da nichts gibt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 12.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 06.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Nun, was du da stehen hast, ist ja prinzipiell eine Folge der Form
(1 + [mm] \bruch{-1}{k})^k
[/mm]
Und Folgen der Form (1 + [mm] \bruch{r}{k})^k [/mm] konvergieren gegen [mm] e^r. [/mm]
In einem meiner Mathebücher (Barner/Flohr) wird dein Spezialfall folgendermaßen "bewiesen":
Wegen
(1 - [mm] \bruch{1}{k})^k [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{k})*\bruch{1}{(1 + \bruch{1}{k-1})^{k-1}} [/mm] (für k [mm] \ge [/mm] 2)
folgt die Behauptung (Anm.: (1 - [mm] \bruch{1}{k})^k \rightarrow e^{-1} [/mm] ).
Die Umformung kann ich jetzt leider nicht aus dem Stehgreif nachvollziehen. Aber vielleicht hilft sie dir weiter.
Gruß, Tobias
Edit: Da ist mir schachuzipus zuvorgekommen. Sorry, hatte nicht gesehen, dass schon jemand antwortet. Wurde mir aber auch nicht angezeigt, als ich die Antwort anfing.
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> Wegen
> (1 - [mm]\bruch{1}{k})^k[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{k})*\bruch{1}{(1 + \bruch{1}{k-1})^{k-1}}[/mm]
> (für k [mm]\ge[/mm] 2)
> folgt die Behauptung (Anm.: (1 - [mm]\bruch{1}{k})^k \rightarrow e^{-1}[/mm]
> ).
>
> Die Umformung kann ich jetzt leider nicht aus dem Stehgreif Stegreif
> nachvollziehen.
hallo,
das geht so:
(1 - [mm] \bruch{1}{k})^k=(1 \bruch{1}{k})*(1 -\bruch{1}{k})^{k-1}=(1 -\bruch{1}{k})*( \bruch{k-1}{k})^{k-1}= [/mm] (1 [mm] -\bruch{1}{k})*( \bruch{1}{\bruch{k}{k-1}})^{k-1}=(1 -\bruch{1}{k})*( \bruch{1}{\bruch{k-1+1}{k-1}})^{k-1}=(1 -\bruch{1}{k})*( \bruch{1}{1+\bruch{1}{k-1}})^{k-1}= [/mm] (1 [mm] -\bruch{1}{k})* \bruch{1}{(1+\bruch{1}{k-1})^{k-1}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 06.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Wie fange ich bei der d an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Di 06.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Thomas87,
> Wie fange ich bei der d an?
Gegenfrage: Hast Du eine Idee?
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 06.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Klammere in Zähler und Nenner [mm] $5^n$ [/mm] aus und kürze.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Ich hab's jetzt so gemacht:
[mm] \bruch{2^n - 5^{n+1}}{2^{n+1} + 5^{n+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{ 5^n( \bruch{2^n}{5^n} - \bruch{5^{n+1}}{5^n})}{ 5^n(\bruch{2^{n+1}}{5^n} + \bruch{5^{n+2}}{5^n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{( \bruch{2}{5})^n - 5}{ (\bruch{2}{5})^n * \bruch{2}{5^n} + 25}
[/mm]
Die Brüche streben gegen 0, also erhalte ich als Grenzwert hier - [mm] \bruch{1}{5} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Dein Ergebnis ist korrekt. Allerdings muss es im letzten Schritt heißen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{\left( \bruch{2}{5}\right)^n - 5}{ \left(\bruch{2}{5}\right)^n * \red{2} + 25}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Jetzt noch zur letzten Aufgabe:
Kann ich die Folge irgendwie als Reihe auffassen? Sie hat ja auf jeden Fall einen Grenzwert, aber wie komme ich auf den?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Sieh mal hier; da wurde u.a. eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, dass ich dich auf die falsche Fährte gelockt habe, ich habe unten eine Korrektur hingeschrieben, die den nun hoffentlich richtigen GW, nämlich 0 herauspellt
