grenzwerte von integralen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | berechnen sie die folgenden grenzwerte :
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{ 1/(1+x^{n}) dx}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi}{ e^{-n sin \delta } d \delta} [/mm] |
ich setze (a) [mm] f_{n} [/mm] = [mm] 1/(1+x^{n}) [/mm] ,also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm] = 0
und
(b) [mm] f_{n} [/mm] = [mm] e^{-n sin \delta } [/mm] ,also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm] = 0
beide male setze ich dann f=0 womit dann ,da f und [mm] f_{n} [/mm] messbar und [mm] f_{n} \to [/mm] f und [mm] \exists [/mm] g messbare fkt. : [mm] \forall [/mm] n : | [mm] f_{n} [/mm] | < g offensichtlich (z.b. g= [mm] 1/(0,5+x^{n}) [/mm] bzw. g= [mm] e^{n sin \delta } [/mm] ) und dann gilt der satz von der majorisierten konvergenz und ich darf integral und limes vertauschen.dann würde in beiden fällen 0 herauskommen als grenzwert.
ich hab doch bestimmt irgendetwas falsch gemacht , nicht wahr? wo liegt der haken ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 17.12.2013 | | Autor: | abakus |
> berechnen sie die folgenden grenzwerte :
> (a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{ 1/(1+x^{n}) dx}[/mm]
>
> (b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi}{ e^{-n sin \delta } d \delta}[/mm]
>
> ich setze (a) [mm]f_{n}[/mm] = [mm]1/(1+x^{n})[/mm] ,also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}[/mm] = 0
> und
> (b) [mm]f_{n}[/mm] = [mm]e^{-n sin \delta }[/mm] ,also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}[/mm] = 0
>
> beide male setze ich dann f=0 womit dann ,da f und [mm]f_{n}[/mm]
> messbar und [mm]f_{n} \to[/mm] f und [mm]\exists[/mm] g messbare fkt. :
> [mm]\forall[/mm] n : | [mm]f_{n}[/mm] | < g offensichtlich (z.b. g=
> [mm]1/(0,5+x^{n})[/mm] bzw. g= [mm]e^{n sin \delta }[/mm] ) und dann gilt der
> satz von der majorisierten konvergenz und ich darf integral
> und limes vertauschen.dann würde in beiden fällen 0
> herauskommen als grenzwert.
> ich hab doch bestimmt irgendetwas falsch gemacht , nicht
> wahr? wo liegt der haken ?
Hallo Pumpernickel,
wenn x zwischen 0 und 1 liegt, so ist [mm] $x^n$ [/mm] (vor allem für große n) nahezu konstant 0.
Somit hat [mm] $\frac{1}{1+x^n}$ [/mm] in diesem Intervall für große n einen nahezu konstanten Wert von rund 1. Nimm dir mal den Funktionenplotter deines Vertrauens und zeichne [mm] $\frac{1}{1+x^{100}}$ .
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:25 Di 17.12.2013 | | Autor: | pumpernickel |
oh vielen dank,es ist unmittelbar einsehbar.dann müsste man also erst die integrale ausrechnen bevor man den grenzwert bildet? da allerdings finde ich keine stammfunktionen. hat jemand einen tipp ,wie ich da weiterkommen kann?
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Hallo,
> oh vielen dank,es ist unmittelbar einsehbar.dann müsste
> man also erst die integrale ausrechnen bevor man den
> grenzwert bildet?
Nein, das hast du völlig falsch verstanden, wie ja weiter unten ausgeführt wurde.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> berechnen sie die folgenden grenzwerte :
> (a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{ 1/(1+x^{n}) dx}[/mm]
>
> (b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\pi}{ e^{-n sin \delta } d \delta}[/mm]
>
> ich setze (a) [mm]f_{n}[/mm] = [mm]1/(1+x^{n})[/mm] ,also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}[/mm] = 0
Das stimmt nicht !
Für 0 [mm] \le [/mm] x <1 haben wir [mm] x^n \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty, [/mm] also
[mm] f_n(x) \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
> und
> (b) [mm]f_{n}[/mm] = [mm]e^{-n sin \delta }[/mm] ,also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}[/mm] = 0
>
> beide male setze ich dann f=0 womit dann ,da f und [mm]f_{n}[/mm]
> messbar und [mm]f_{n} \to[/mm] f und [mm]\exists[/mm] g messbare fkt. :
> [mm]\forall[/mm] n : | [mm]f_{n}[/mm] | < g offensichtlich (z.b. g=
> [mm]1/(0,5+x^{n})[/mm] bzw. g= [mm]e^{n sin \delta }[/mm] ) und dann gilt der
> satz von der majorisierten konvergenz und ich darf integral
> und limes vertauschen.dann würde in beiden fällen 0
> herauskommen als grenzwert.
> ich hab doch bestimmt irgendetwas falsch gemacht , nicht
> wahr? wo liegt der haken ?
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ahh mir ist etwas eingefallen : für den satz von der majoriesierten konvergenz reicht es ,dass [mm] f_{n} \to [/mm] f fast überall gilt ,das hiesse dass es für die sonstigen x ,die nicht zwischen -1 und 1 liegen gilt und damit fast überall .
was sagt ihr dazu ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> ahh mir ist etwas eingefallen : für den satz von der
> majoriesierten konvergenz reicht es ,dass [mm]f_{n} \to[/mm] f fast
> überall gilt ,das hiesse dass es für die sonstigen x ,die
> nicht zwischen -1 und 1 liegen gilt und damit fast überall
> .
> was sagt ihr dazu ?
Was heist denn fast überall ? Ist denn [0,1) eine Nullmenge ?
Mitnichten !! Und auch Mitneffen !
FRED
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nein aber überall ausserhalb dieses intervalls und diese menge ist doch mächtiger .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> nein aber überall ausserhalb dieses intervalls und diese
> menge ist doch mächtiger .
????
Das verstehe wer will .....
FRED
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schade nun,jetzt bin ich nun genauso schlau wie vorher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Do 19.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Pumpernickel,
ich selbst kann mangels belastbarem Wissen nicht wirklich eine Antwort geben, auch habe ich gerde wenig Zeit.
Ich hätte nur einen Vorschlag. Offensichtlich bist du ja mit den bisher gegebenen Antworten bzw. Rückfragen (die als Tipps gedacht sind!) noch nicht weitergekommen. Das ist ja auch überhaupt kein Problem. Nur hilft dann so etwas
> schade nun,jetzt bin ich nun genauso schlau wie vorher
als Problembeschreibung nicht weiter. Setze dich hin, formuliere deine Vertsändnisprobleme so präzise wie möglich aus und stelle dann eine Rückfrage. Dann wird es klappen, dann wirst du irgendwann geanu die Antwort bekommen, die dir gefehlt hat.
Gruß, Diophant
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ich wollte nur wissen ,wie man die aufgabe angeht ,also entweder limes bildet ,dann integriert ,andersherum oder sonstwie.da ich keine stammfunktionen finde ,stecke ich fest.wie könnte ich es anders formulieren?
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Hallo,
> ich wollte nur wissen ,wie man die aufgabe angeht ,also
> entweder limes bildet ,dann integriert ,andersherum oder
> sonstwie.
Da musst du vielleicht halt auch die gegebenen Antworten genauer durchlesen, das wurde nämlich zumindest für die a) schon in dem Sinn behandelt, dass man natürlich zuerst n gegen Unendlich gehen lassen muss, um zu sehen, was der Integrand dann macht.
> da ich keine stammfunktionen finde ,stecke ich
> fest.
Das ist hier Maßtheorie, oder sehe ich das falsch? Da kann man ja beim besten Willen nicht mehr denken, dass man durch die Aufgaben genau so apparatschik-mäßig durchkommt wie in der Schule!
Zwar besitzt die Funktion in a) für jedes n eine geschlossen darstellbare Stammfunktion, aber die sieht eben für jedes n anders aus. Hast du schon einmal versucht [mm] 1/(1+x^3) [/mm] nach x zu integrieren? Probier es mal, aber nur wenn du viel Zeit hast und mit dieser Aufgabe hier fertig bist...
Und die Funktion aus b) besitzt überhaupt keine geschlossen darstellbare Stammfunktion, für kein n (wenn ich mich nicht gewaltig täusche).
Also zusammengefasst: erst eine vernünftig durchgeführte Grenzwertbetrachtung der Integranden, die Integrale erledigen sich nämlich dann mittels elementarer Überlegungen von selbst.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen
[mm] f_n(x):= 1/(1+x^{n}) [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0.
Jetzt bestimme Du den punktweisen Limes
[mm] f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0.
Dann sehen wir weiter.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Do 19.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ist das denn nicht 0 ?
Du kennst doch mit Sicherheit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n. [/mm] Das ist auch nicht $1$ 
Was ich damit sagen will: Erkläre dein Ergebnis!
DieAcht
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also für x > 1 oder x < -1 läuft es offensichtlich gegen 0 sonst gegen 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> also für x > 1 oder x < -1
War nicht x [mm] \ge [/mm] 0 ??
> läuft es offensichtlich gegen
> 0 sonst gegen 1
https://matheraum.de/read?i=999105
FRED
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in der aufgabe ist x doch beliebig. für x größer gleich null gäbe es doch immer noch 2 fälle oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> in der aufgabe ist x doch beliebig.
Langsam komme ich mir verarsc... vor !
Geht es jetzt um die Folge ( [mm] \integral_{0}^{\infty}{ 1/(1+x^{n}) dx}) [/mm] oder nicht ???
Wo ist da ein x<0 ???
> für x größer gleich
> null gäbe es doch immer noch 2 fälle oder?
Es gibt 3 Fälle, aber auch das hab ich Dir schon gesagt.
ich überlege mir gerade, ob ich aus dieser Diskussion aussteigen soll ?
Was machst Du eigentlich mit den Antworten , die Du bekommst ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Do 19.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Beachte, dass es um punktweise Konvergenz geht!
Du suchst also nach der Grenzfunktion..
Sonst hat FRED alles gesagt. Dir sogar noch einen Tipp dazu gegeben 
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 19.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> ist das denn nicht 0 ?
Ist das die Möglichkeit ???
Weiter oben hab ich Dir vorgekaut, dass
$ [mm] f_n(x)= 1/(1+x^{n}) \to [/mm] 1 $ für $n [mm] \to \infty$, [/mm] wenn 0 [mm] \le [/mm] x <1.
Berechne nun Du:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(1)
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] für x>1.
FRED
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