größte und kleinste Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 So 02.07.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | | [mm] f_n[a,b] \to \IR [/mm] sei stetig mit f(a) < 0 < f(b). Beweisen Sie, dass f eine kleinste und eine größte Nullstelle hat. |
Hallo,
zu dieser Frage habe ich leider keine Idee.
Wenn man von der Stetigkeit einer Funktion nach der [mm] \varepsilon [/mm] - Definition ausgeht, kann es doch im Intervall [a,b] nur eine einzige Nullstelle geben, oder?
Von einer größten und kleinsten Nullstelle habe ich noch nichts gehört, was ist damit gemeint?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Wenn man von der Stetigkeit einer Funktion nach der $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - Definition ausgeht, kann es doch im Intervall [a,b] nur eine einzige Nullstelle geben, oder?
Wie kommst du darauf?
> Von einer größten und kleinsten Nullstelle habe ich noch nichts gehört, was ist damit gemeint?
Gemeint ist - falls existent - die kleinste bzw. größte reelle Zahl [mm] $x\in [/mm] [a,b]$ mit $f(x)=0$, anders formuliert also das Minimum/Maximum von [mm] $f^{-1}(0)=f^{-1}(\{0\})$. [/mm] Um zu zeigen, dass dieses existiert, reicht es zu zeigen, dass [mm] $f^{-1}(\{0\})$ [/mm] abgeschlossen ist. Wie folgt das aus der Stetigkeit von $f$?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 05.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi Hanno,
> Gemeint ist - falls existent - die kleinste bzw. größte
> reelle Zahl [mm]x\in [a,b][/mm] mit [mm]f(x)=0[/mm], anders formuliert so
> das Minimum/Maximum von [mm]f^{-1}(0)=f^{-1}(\{0\})[/mm]. Um zu
> zeigen, dass dieses existiert, reicht es zu zeigen, dass
> [mm]f^{-1}(\{0\})[/mm] abgeschlossen ist.
wie meinst du das mit der Funktion [mm] f^{-1} [/mm] ? Das ist doch die Umkehrfunktion. Dass man die Umkehrfunktion nehmen muß habe ich noch nicht gewußt.
Kannst du as mal an einem Beispiel rechnen?
Gruß didi
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Hallo didi,
> > Gemeint ist - falls existent - die kleinste bzw. größte
> > reelle Zahl [mm]x\in [a,b][/mm] mit [mm]f(x)=0[/mm], anders formuliert so
> > das Minimum/Maximum von [mm]f^{-1}(0)=f^{-1}(\{0\})[/mm]. Um zu
> > zeigen, dass dieses existiert, reicht es zu zeigen, dass
> > [mm]f^{-1}(\{0\})[/mm] abgeschlossen ist.
>
> wie meinst du das mit der Funktion [mm]f^{-1}[/mm] ? Das ist doch
> die Umkehrfunktion. Dass man die Umkehrfunktion nehmen muß
> habe ich noch nicht gewußt.
> Kannst du as mal an einem Beispiel rechnen?
Man muß sicher nicht. Viele Wege führen nach Rom 
Was Hanno vermutlich meint ist die ![[]](/images/popup.gif) Stetigkeitsdefinition über abgeschlossene Mengen Das macht den Beweis kürzer und etwas schwieriger, weil man sich zumindest ein wenig mit Topologie auskennen muß.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
auch wenn diese Diskussion schon älter ist, würde ich gerne eine Frage zu Hannos Beitrag stellen. Wenn ich ihn hoffentlich richtig verstanden habe, muss man zur Ermittlung der kleinsten/größten Nullstelle [mm]min\{f^{-1}(0)\}[/mm] oder [mm]max\{f^{-1}(0)\}[/mm] bestimmen. Die Existenz kann man ja dann dadurch zeigen, dass man die topologische Charakterisierung von Stetigkeit nutzt usw.
Gibt es aber noch andere Möglichkeiten über die Umkehrfunktion die kleinste/größte Nullstelle zu bestimmen? Was wäre z.B. mit [mm](f^{-1})^|(0)[/mm]?
Liebe Grüße
Herbart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Sa 08.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da die Umkehrfkt. Nicht stetig sein muss f nicht monoton, geht das nicht. eine monotone fkt hat aber nur eine NSt.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 09.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Danke für eure schnellen Antworten.
Wenn ich eine Funktion [mm]k(t)[/mm] definiere, die für eine Funktionsschar [mm]f_t(x)[/mm], (die nur von einem Parameter [mm] t\in \IR [/mm] abhängt und in der auch eine streng monoton wachsende Funktion für t=4 enthalten ist,) jedem [mm] t\in \IR [/mm] die größte Nullstelle dieser von t abhängigen Funktion zuordnet, wie kann ich dann [mm]k'(4)[/mm] berechnen?
Zusätzlich weiß ich für die besagte streng monoton wachsende Fkt. mit t=4, dass sie die größte N.St. bei x=2 hat, also [mm]k(4)=2[/mm].
Ich habe mir gedacht, dass ich vielleicht mit [mm](k^{-1})'(k(4))=\bruch{1}{k'(4)} => (k^{-1})'(2)=\bruch{1}{k'(4)}[/mm] das gesuchte [mm]k'(4)[/mm] berechnen kann. Aber was sagt mir [mm](k^{-1})'(2)[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure schnellen Antworten.
> Wenn ich eine Funktion [mm]k(t)[/mm] definiere, die für eine
> Funktionsschar [mm]f_t(x)[/mm], (die nur von einem Parameter [mm]t\in \IR[/mm]
> abhängt und in der auch eine streng monoton wachsende
> Funktion für t=4 enthalten ist,) jedem [mm]t\in \IR[/mm] die
> größte Nullstelle dieser von t abhängigen Funktion
> zuordnet, wie kann ich dann [mm]k'(4)[/mm] berechnen?
> Zusätzlich weiß ich für die besagte streng monoton
> wachsende Fkt. mit t=4, dass sie die größte N.St. bei x=2
> hat, also [mm]k(4)=2[/mm].
> Ich habe mir gedacht, dass ich vielleicht mit
> [mm](k^{-1})'(k(4))=\bruch{1}{k'(4)} => (k^{-1})'(2)=\bruch{1}{k'(4)}[/mm]
> das gesuchte [mm]k'(4)[/mm] berechnen kann. Aber was sagt mir
> [mm](k^{-1})'(2)[/mm]?
Was hat das alles mit der Aufgabe zu tun ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 So 09.06.2013 | | Autor: | Herbart |
OK. Mit der Aufgabe hat das nicht mehr viel zu tun. Die einzige Gemeinsamkeit ist, dass die Frage größte Nullstellen behandelt, wenn auch in einem anderen Kontext. 
Ich hätte evtl. einen neuen Artikel erstellen sollen. Tut mir Leid.
Kannst du vielleicht dennoch einen Hinweis zur gestellten Frage geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 08.06.2013 | | Autor: | fred97 |
f muss keine Umkehrfunktion haben.
Wegen f(a)<0<f(b) und der Stetigkeit von f, hat f eine Nullstelle in [a,b]
Also ist N:= [mm] \{t \in [a,b]: f(t)=0\} \ne \emptyset.
[/mm]
Weil N eine Teilmenge von [a,b] ist, ist N beschränkit.
Es existieren also u: =inf(N) und v:= sup(N).
Zeige: u und v sind Nullstellen von f.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 05.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi,
Hast du schon gezeigt, dass es überhaupt eine Nullstelle gibt? Wenn ja, bist du schon fast fertig.
Welche Fälle können denn noch eintreten??
1) Es gibt nur eine Nullstelle. Dann bist du fertig, das ist dann sowohl grösste als auch kleinste Nullstelle.
2) Es gibt mehrere Nullstellen. Da die Reellen Zahlen eine Grössenordnung besitzen, kann man die Nullstellen der Grösse nach ordnen.
Bleibt noch zu zeigen, dass es überhaupt eine Nullstelle gibt.
Dazu lies dir mal im unten verlinkten Analysis-Skript von Herr Preston, Uni Bielefeld das Lemma 12.2 durch, da steht der Beweis.
Das Skript findest du hier unter Skript für Analysis I und II.
Hilft das weiter?
Marius
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Hallo Marius,
> 1) Es gibt nur eine Nullstelle. Dann bist du fertig, das
> ist dann sowohl grösste als auch kleinste Nullstelle.
> 2) Es gibt mehrere Nullstellen. Da die Reellen Zahlen eine
> Grössenordnung besitzen, kann man die Nullstellen der
> Grösse nach ordnen.
Ganz so einfach kann man imo nicht argumentieren:
Betrachte z.B.( a<b<c<d<e) [mm]f:[a,b)\cup(c,d)\cup(e,f] \to R[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in [a,b) \\ 0, & \mbox{für } x \in (c,d) \\ 1, & \mbox{für } x \in (e,f] \end{cases}
[/mm]
Da läßt sich auch alles anordnen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Do 06.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
> > 1) Es gibt nur eine Nullstelle. Dann bist du fertig, das
> > ist dann sowohl grösste als auch kleinste Nullstelle.
> > 2) Es gibt mehrere Nullstellen. Da die Reellen Zahlen
> eine
> > Grössenordnung besitzen, kann man die Nullstellen der
> > Grösse nach ordnen.
> Ganz so einfach kann man imo nicht argumentieren:
> Betrachte z.B.( a<b<c<d<e) [mm]f:[a,b)\cup(c,d)\cup(e,f] \to R[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \in [a,b) \\ 0, & \mbox{für } x \in (c,d) \\ 1, & \mbox{für } x \in (e,f] \end{cases}[/mm]
>
> Da läßt sich auch alles anordnen.
> viele Grüße
> mathemaduenn
Sorry, aber meiner Meinung nach ist deine Beispielfunktion an den Schnittstellen nicht stetig, was in der Aufgabe aber gefordert war/ist.
Marius
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Hallo Marius,
Ich denke schon das sie stetig ist man kann sich das [mm] \delta [/mm] in der eps-delta -Definition der Stetigkeit sogar fest vorgeben als min(c-b,e-d) ,dann ist die Differenz der Funktionswerte immer 0. Der Trick dabei ist das nur x aus dem Definitionsbereich betrachtet werden.
Es gibt ja in dem Sinne keine Schnittstellen sondern echte Definitionslücken.
O.K.?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Do 06.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Überredet
Marius
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Um den Sachverhalt etwas zu erläutern und die Problematik erstmal überhaupt verständlich zu machen, hier ein Beispiel:
Betrachte [mm] f(x)=x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] über dem Intervall ] 0 | 100 ].
Die Funktion ist als Verknüpfung stetiger Funktionen dort stetig und hat bei 100 den Wert 100*sin(0,01) [mm] \approx [/mm] 100*0,01 = 1>0.
Fährt man nun von 100 herunter auf 0 zu, so geht der Wert von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nach [mm] \infty [/mm] , der Wert von [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] hat immer häufiger Nullstellen, es gibt keine kleinste Nullstelle.
Diese Funktion widerlegt also die Annahme, dass es grundsätzlich in einem (auch abgeschlossenen, wie wir gleich sehen werden) Intervall eine kleinste Nullstelle geben muss.
Sie erfüllt allerdings die erforderlichen Voraussetzungen nicht, da das Intervall links offen ist und die Funktion für x=0 nicht definiert ist. Deshalb ergänzen wir sie noch um den Wert f(0)=-1. Nun ist sie auf [ 0 | 100 ] definiert, f(0)<0 und f(100)>0.
Fast hätten wir nun ein Gegenbeispiel. Aber: f ist in x=0 nicht stetig! Wählen wir eine stetige Ergänzung, so müssen wir f80)=0 wählen - und dann gibt es tatsächlich wieder eine kleinste Nullstelle x=0.
Dieses Beispiel zeigt auf, in welche Richtung die Argumentation verlaufen muss.
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