harmonische Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage bezüglich der harmonischen Reihe. Bei der geometrischen Reihe kenne ich das Konvergenzkriterium und den Grenzwert s= a/1-q und q<1.
Aber wie kann ich nachprüfen, ob eine harmonische Reihe konvergent ist? Gibt es da auch eine Summenwertformel?
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
könnt ihr mir evt konkrete Beispiele geben? Vielen Dank vorweg
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Aeolus |
Ich kenne nur eine Harmonische Reihe, die lautet
[mm]
\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{i}
[/mm]
Diese divergiert. Sofern das deine Frage nicht beantwortet: Welche weiteren Reihen meintest du denn mit Harmonischen Reihen?
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | gibt es keine weiteren harmonischen reihen? Nur die Eine??
Wie weise ich genau bei dieser harmonischen Reihe divergenz nach? |
siehe oben
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
der Begriff "harmonische Reihe" bezeichnet direkt die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i} [/mm].
Insofern gibt es nur die eine 
Schauen wir uns die Reihe mal genauer an:
[mm]1 + \bruch{1}{2} + [\bruch{1}{3} + \bruch{1}{4}] + [\bruch{1}{5} + \bruch{1}{6} + \bruch{1}{7}] + ...[/mm]
[mm]< 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} + .... [/mm]
D.h. du eine bestimmte Anzahl aufeinanderfolgender Summanden sind immer grösser als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und das die Summe
[mm]1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{2} + .... [/mm]
divergiert ist hoffentlich klar.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | habe noch ein paar offene Fragen |
okay du setzt jetzt für i werte ein und die Reihe wird immer größer wenn man die Werte addiert. Aber woher nehme ich dieses 1+1/2+1/2...? Ist das ein Kriterium???
Ist mir total unklar und warum die reihe divergiert ist mir auch nicht wirklich klar...
|
|
|
| |
|
Hallo,
richtig, ich habe für i erstmal ein paar Werte eingesetzt und extra auch Klammern gesetzt, werde es aber nun nochmal erklären:
[mm]\bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} = \bruch{7}{12} > \bruch{1}{2} [/mm]
[mm]\bruch{1}{5} + \bruch{1}{6}+ \bruch{1}{7} = \bruch{107}{210} > \bruch{1}{2}[/mm]
usw
d.h. du kannst immer eine bestimmte Anzahl an Summanden nach unten durch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] abschätzen.
d.h. [mm]\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{1}{i} > \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{1}{2} = \infty [/mm]
Und da die nach unten abgeschätzte Reihe bereits divergiert, divergiert auch die harmonische Reihe
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | warum wählst du gerade 1/2 als deine Abschätzung aus? Kannst du das beliebig auswählen, solange es die 1 nicht überschreitet? |
Vielen Dank bisher, hätte da nur noch eine kleine Frage ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo lisa
das mit 1/2 ist am schnellsten zu zeigen, natürlich kannst du auch bis 1 gehen, oder 1,5 usw. aber der einfachste Weg reicht doch, um Divergenz zu beweisen.
und mit <1 hat das nix zu tun, warum auch?
Gruss leduart
|
|
|
|
