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Juten Abend!
Ich habe ein kleines Verständnisproblem.
Warum die harmonische Reihe divergent ist, kann ich mir ja vorstellen. Aber warum sind Reihen, wie:
[mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{ln(n)}
[/mm]
konvergent?
Gruß Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 07.10.2007 | | Autor: | Ernie |
Hallo Rainer, dass die harmonische Reihe divergiert, hast du schon richtig erkannt. Denn man kann durch zusammenfassen der einzelnen Glieder die Zahl ½ jedes Mal übertreffen. Dies kann man sich durch Klammersetzen klarmachen.
Nun zu Deiner Frage, man kann nicht einfach sagen, dass die Reihe [mm] 1/n^2 [/mm] konvergiert. Dies muss man beweisen. Dazu benutzt du am besten das majoranten- bzw. das Minorantenkritärium!
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Hallo Rainer,
als Ergänzung zu Ernie:
Die Reihe [mm] \sum\frac{1}{\ln(n)} [/mm] ist mit Sicherheit divergent!!
Es ist doch [mm] \ln(n)\frac{1}{n}
[/mm]
Also [mm] \sum\frac{1}{\ln(n)}>\sum\frac{1}{n}
[/mm]
Und wenn [mm] \sum\frac{1}{n} [/mm] schon gegen [mm] \infty [/mm] divergiert, bleibt der noch größeren Reihe [mm] \sum\frac{1}{\ln(n)} [/mm] doch auch nix andere übrig, als ebenfalls gegen [mm] \infty [/mm] zu divergieren.
[mm] \sum\frac{1}{n} [/mm] ist also eine divergente Minorante zu [mm] \sum\frac{1}{\ln(n)}
[/mm]
Generell sind die Reihen [mm] \sum\frac{1}{n^s} [/mm] für s>1 konvergent und für [mm] s\le [/mm] 1 divergent
Die harmonische Reihe (für s=1) ist also quasi die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und den divergenten
Gruß
schachuzipus
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Hallo Rainer,
Jaaaa, da steht aber nicht [mm] \sum\frac{1}{\ln(n)}, [/mm] sondern [mm] \sum\frac{\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{\ln(n)}
[/mm]
Das ist ja ein himmelweiter Unterschied:
[mm] \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) [/mm] nimmt ja im Wechsel die Werte 1,0,-1 ein.
Also ist [mm] \sum\frac{\sin\left(n\frac{\pi}{2}\right)}{\ln(n)} [/mm] eine alternierende Reihe, die alle Kriterien für Konvergenz gemäß dem Leibnitzkriterium erfüllt
Anderes Bsp.:
Die harmonische Reihe [mm] \sum\frac{1}{n} [/mm] ist divergent - allseits bekannt
Die alternierende harmonische Reihe [mm] \sum\frac{(-1)^n}{n} [/mm] ist konvergent
(ich glaube der GW ist [mm] \ln(2))
[/mm]
Also immer aufpassen, was da genau steht 
LG
schachuzipus
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OK....
Ich dachte, dass die Reihe alternierend ist, wäre egal...
Anscheinend garnicht :)
Vielen Dank euch beiden nochmal!
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http://www.math.tu-berlin.de/HM/AnalysisI/WS_2002_2003/Klausuren/klausur_apr_p_verst.pdf