hebbare Singularitäten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | Untersuche die folgenden Funktionen auf Singularitäten. Prüfe ob die Singularität hebbar sind und gib gegebenenfalls den entsprechenden Grenzwert an. |
[mm] f(x)=\bruch{4x^3-8x^2+4x}{x^2+2x-3}
[/mm]
Nun weiß ich das die Funktion nicht definiert ist wenn der Zähler 0 wird.
Daher ist die Funktion bei x=1 und x=-3 nicht definiert.
Gibt es noch weitere Singularitäten auf die ich prüfen kann?
Wie kann ich prüfen ob sie hebbar sind bzw. was bedeutet das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Untersuche die folgenden Funktionen auf Singularitäten.
> Prüfe ob die Singularität hebbar sind und gib
> gegebenenfalls den entsprechenden Grenzwert an.
> [mm]f(x)=\bruch{4x^3-8x^2+4x}{x^2+2x-3}[/mm]
>
> Nun weiß ich das die Funktion nicht definiert ist wenn der
> Zähler 0 wird.
Das Ding unter dem Bruchstrich heißt übrigens "Nenner".
> Daher ist die Funktion bei x=1 und x=-3 nicht definiert.
>
Das ist richtig.
> Gibt es noch weitere Singularitäten auf die ich prüfen
> kann?
Nein. Die Funktion ist nur dort nicht definiert, wo eine Nullstelle des Nenners vorliegt, die hast du alle gefunden. Der Nenner lässt sich also in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen : $ n(x)=(x-1)*(x+3) $
Um zu überprüfen, ob die Funktion an diesen stellen stetig ergänzt werden kann, ob also eine hebbare Definitionslücke vorliegt, musst du prüfen, ob eine dieser Nullstellen der Nennerfunktion auch Nullstelle des Zählers ist. In diesem Fall spaltet auch das Zählerpolynom einen Linearfaktor ab : [mm] z(x)=(x-x_0)*q(x) [/mm] mit einem Co-Faktor q, der sich durch Polynomdivision bestimmen lässt.
Wenn nun eine Nennernullstelle auch Zählernullstelle ist, dann lässt sich der Faktor [mm] x-x_0 [/mm] kürzen, wenn danach [mm] x_0 [/mm] keine Nennernullstelle mehr ist (das Gegenteil könnte höchstens bei mehrfachen Nenner-Nullstellen [mm] x_0 [/mm] eintreten, die aber im vorliegenden Fall ja nicht existieren), dann kann der Definitionsbereich der Funktion f um eben diese Stelle [mm] x_0 [/mm] so erweitert werden, dass der gekürzte Bruch Funktionsterm zu einer Funktion [mm] f_{erweitert} [/mm] wird, die mit f an allen bisherigen Stellen übereinstimmt und außerdem in [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
so ganz habe ich das noch nicht verstanden aber ich hab schon mal versucht:
Durch Linear Faktorzerlegung kam ich auf folgenden Bruch:
[mm] f(x)=\bruch{(x-1)(x-1)(4x)}{(x-1)(x+3)}
[/mm]
Das heißt wie können (x-1) kürzen und erhalten
[mm] f(x)=\bruch{(x-1)(4x)}{(x+3)}
[/mm]
Bedeutet das die Definitionslücke bei x=1 hebbar ist und die bei x=-3
nicht hebbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Coxy,
ja, genau das ist die Schlussfolgerung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Vielen dank ich hab noch eine kurze Frage.
Ich habe die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^3+2x^2-9x-18}{x^2-x-6}+3x
[/mm]
Ändert das +3x etwas oder kann ich genauso vorgehen wie vorher?
Freundliche Grüße
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Hallo Coxy,
> Vielen dank ich hab noch eine kurze Frage.
> Ich habe die Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^3+2x^2-9x-18}{x^2-x-6}+3x[/mm]
>
> Ändert das +3x etwas oder kann ich genauso vorgehen wie
> vorher?
Du kannst genauso vorgehen wie vorher.
> Freundliche Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Bei der Funkion [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x}
[/mm]
hier geht es nicht so einfach wie zuvor?
Hier müsste ich l Hospital anwenden und würde ja 1 rausbekommen.
Meine Frage ist warum musste ich vorher bei den vorherigen Funktionen kein l Hospital anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Mo 21.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bei der Funkion [mm]f(x)=\bruch{sin(x)}{x}[/mm]
> hier geht es nicht so einfach wie zuvor?
> Hier müsste ich l Hospital anwenden und würde ja 1
> rausbekommen.
> Meine Frage ist warum musste ich vorher bei den vorherigen
> Funktionen kein l Hospital anwenden?
Schauen wir uns
[mm] \bruch{x^3+2x^2-9x-18}{x^2-x-6}
[/mm]
an. Dann stellen wir fest. der Nenner hat Nullstellen in -2 und in 3. Der Zähler aber auch !
FRED
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