hermitesche Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 29.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo!
Man kann ja zeigen das für hermitesche Matrizen A folgendes gilt:
[mm] \lambda_{min} \leq \frac{\overline{x^t} A x}{\overline{x^t}x} \leq \lambda_{max} [/mm] für alle x [mm] \in C^n, x\not= [/mm] 0. wobei [mm] \lambda [/mm] die EW von A sind.
Nun soll man zeigen, dass für solche hermitesche Matrizen aus dieser ungleichung folgt, dass
[mm] \lambda_{min} \leq min\{a_{11}, ... , a_{nn} \} [/mm] und
[mm] \lambda_{max} \ge max\{a_{11}, ... , a_{nn} \} [/mm]
man sieht ja relativ schnell, dass wenn man für x die einheitsvektoren wählt, gilt: [mm] \lambda_{min} \leq a_{kk} \leq \lambda_{max}
[/mm]
aber kann man auch zeigen, dass diese uglg für beliebige vektoren aus [mm] C^n [/mm] gilt??
und woher weiß man, dass das [mm] a_{kk} [/mm] gerade das minimum bzw max der menge ist?
viele grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Fr 29.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Riley,
ich glaube Du bist mit dem Beweis schon fertig, da die Ungleichung
[mm] \lambda_{min} \le a_{kk} \le \lambda_{max} [/mm] für alle k gilt.
Sei [mm] a_{k_0 k_0}=min(a_{11},...,a_{nn}) [/mm] und [mm] a_{k_1 k_1}=max(a_{11},...,a_{nn}) [/mm] dann gilt nämlich auch
[mm] \lambda_{min} \le a_{k_0 k_0} [/mm] und
[mm] \lambda_{max} \ge a_{k_1 k_1}
[/mm]
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:33 Sa 30.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Ullim!
danke für deine anwort! stimmt, wenn es für alle [mm] a_{kk} [/mm] gilt, dann auch für das min oder max, danke =)
nur das mit den vektoren ist mir noch nicht klar. man soll ja zeigen, dass es für alle x [mm] \in C^n [/mm] gilt, aber ich hab es ja eigentlich nur für die einheitsvektoren gezeigt??
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 So 01.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> danke für deine anwort! stimmt, wenn es für alle [mm]a_{kk}[/mm]
> gilt, dann auch für das min oder max, danke =)
>
> nur das mit den vektoren ist mir noch nicht klar. man soll
> ja zeigen, dass es für alle x [mm]\in C^n[/mm] gilt, aber ich hab es
> ja eigentlich nur für die einheitsvektoren gezeigt??
Das was fuer alle $x [mm] \in C^n$ [/mm] (du meinst sicher $x [mm] \in \IC^n \setminus \{ 0 \}$ [/mm] oder?) gilt? Die urspruengliche Gleichung [mm] $\lambda_{min} \le \frac{\overline{x}^t A x}{\overline{x}^t x} \le \lambda_{max}$? [/mm] In deiner urspruenglichen Frage hoerte es sich so an, als wenn du das schon annimmst bzw. schon weisst dass/warum es gilt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 01.10.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (i) Beweisen Sie, dass für hermitesche Matrizen A gilt:
[mm] \lambda_{min} \leq \bruch{\overline{x^t}Ax}{\overline{x^t}x} \leq \lambda_{max} [/mm] für alle x [mm] \in C^n [/mm] , x [mm] \not= [/mm] 0
Dabei bezeichne [mm] \lambda_{max} [/mm] bzw [mm] \lambda_{min} [/mm] den größten bzw kleinsten EW von A.
(ii) Zeigen Sie, dass für hermitesche Matrizen aus (i) folgt:
[mm] \lambda_{min} \leq min\{a_{11},..., a_{nn} \}, [/mm]
[mm] \lambda_{max} \ge max\{a_{11},...,a_{nn} \}. [/mm] |
Hi Felix!
Ja genau, den ersten teil hab ich schon (mit einigen substitutionen...) bewiesen, also dass
(i) [mm] \lambda_{min} \leq \bruch{\overline{x^t}Ax}{\overline{x^t}x} \leq \lambda_{max} [/mm] für alle x [mm] \in C^n [/mm] , x [mm] \not= [/mm] 0 gilt.
der zweite teil (ii) war nun zu zeigen, dass für solche hermitesche Matrizen aus (i) weiter gilt:
[mm] \lambda_{min} \leq min\{a_{11},..., a_{nn} \}, [/mm]
[mm] \lambda_{max} \ge max\{a_{11},...,a_{nn} \}.
[/mm]
jetzt hab ich ja nur gezeigt, dass wenn ich in (i) die einheitsvektoren einsetze (ii) gilt. meine frage ist aber, ob ich zeigen muss, dass (ii) gilt, egal welche vektoren ich in (i) einsetze??
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 01.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> (i) Beweisen Sie, dass für hermitesche Matrizen A gilt:
> [mm]\lambda_{min} \leq \bruch{\overline{x^t}Ax}{\overline{x^t}x} \leq \lambda_{max}[/mm]
> für alle x [mm]\in C^n[/mm] , x [mm]\not=[/mm] 0
> Dabei bezeichne [mm]\lambda_{max}[/mm] bzw [mm]\lambda_{min}[/mm] den
> größten bzw kleinsten EW von A.
> (ii) Zeigen Sie, dass für hermitesche Matrizen aus (i)
> folgt:
> [mm]\lambda_{min} \leq min\{a_{11},..., a_{nn} \},[/mm]
> [mm]\lambda_{max} \ge max\{a_{11},...,a_{nn} \}.[/mm]
> Hi Felix!
> Ja genau, den ersten teil hab ich schon (mit einigen
> substitutionen...) bewiesen, also dass
> (i) [mm]\lambda_{min} \leq \bruch{\overline{x^t}Ax}{\overline{x^t}x} \leq \lambda_{max}[/mm]
> für alle x [mm]\in C^n[/mm] , x [mm]\not=[/mm] 0 gilt.
>
> der zweite teil (ii) war nun zu zeigen, dass für solche
> hermitesche Matrizen aus (i) weiter gilt:
> [mm]\lambda_{min} \leq min\{a_{11},..., a_{nn} \},[/mm]
> [mm]\lambda_{max} \ge max\{a_{11},...,a_{nn} \}.[/mm]
>
> jetzt hab ich ja nur gezeigt, dass wenn ich in (i) die
> einheitsvektoren einsetze (ii) gilt. meine frage ist aber,
> ob ich zeigen muss, dass (ii) gilt, egal welche vektoren
> ich in (i) einsetze??
Den zweiten Teil hast du doch schon laengst gezeigt. Da kommt doch ueberhaupt kein $c$ mehr vor, also warum solltest du da beliebige $c$ einsetzen wollen? Es reicht doch voellig, passende $c$ (hier: Einheitsvektoren) in (i) einzusetzen, da du damit die Ungleichungen aus (ii) bekommst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 01.10.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
okay, sehr gut. danke dir vielmals!
viele grüße
riley =)
|
|
|
|
