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| Aufgabe | beweise, dass
h(x,y) =0.25(h(x+y)-h(x-y)+i(h(x+iy)-ih(x-iy) für alle x,y [mm] \in [/mm] V
wobei
h hermitsesche Form auf [mm] \IC [/mm] Vektorraum und h(x):=h(x,x) für x [mm] \in [/mm] V
gelten |
hallo,
soll man hier alle y durch x ersetzen?
irgendwie verwirrt mich das h(x):=h(x,x)...
kann mir jm beim ansatz helfen?
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Hallo,
was bedeutet eigentlich h(x+y)? ich habe diesen ausdruck noch nicht gesehen, nur mit komma also h(x,y)
ich hab unter hermitesche formen nachgeschaut, und da gilt ja [mm] h(x,y)=\overline{h(y,x)} [/mm] nur weiß ich nicht genau, wie ich dass hier anwenden kann.
h(x+y)=h(y+x); wie gesagt, mir ist nicht klar, was h(x+y) bedeutet....
ehrlcih gesagt, ist mir nochn icht klar was ich genau zeigen soll. soll ich etwas in den rechten term der gleichung einsetzten und dann h(x,y) rausbekommen?
irgendwie weiß ich nicht, wie ich hier wo anfangen soll.... :(
kann mir jm etwas auf die sprünge verhelfen? wäre nett
Lg weihnachtsmann
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Hallo weihnachtsman,
> Hallo,
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> was bedeutet eigentlich h(x+y)? ich habe diesen ausdruck
> noch nicht gesehen, nur mit komma also h(x,y)
Das steht doch oben in der Aufgabenstellung
$h(x)$ bedeutet $h(x,x)$
Also bedeutet $h(x+y)$ doch analog $h(x+y,x+y)$
>
> ich hab unter hermitesche formen nachgeschaut, und da gilt
> ja [mm]h(x,y)=\overline{h(y,x)}[/mm] nur weiß ich nicht genau, wie
> ich dass hier anwenden kann.
> h(x+y)=h(y+x); wie gesagt, mir ist nicht klar, was h(x+y)
> bedeutet....
>
> ehrlcih gesagt, ist mir nochn icht klar was ich genau
> zeigen soll. soll ich etwas in den rechten term der
> gleichung einsetzten und dann h(x,y) rausbekommen?
>
>
> irgendwie weiß ich nicht, wie ich hier wo anfangen soll....
> :(
> kann mir jm etwas auf die sprünge verhelfen? wäre nett
Das ist stures Nachrechnen, da ist nix dahinter.
Du musst nur die Eigenschaften einer hermiteschen Form benutzen und die einzelnen Ausdrücke auf der rechten Seite "zerlegen"
Du brauchst, dass $h$ linear im ersten und semilinear im zweiten Argument ist (wenn ihr's so herum definiert habt), dass du also Skalare aus dem zweiten Argument komplex konjugiert herausholen kannst.
Ich mache mal nen Anfang:
Es ist [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\left[h(x+y)-h(x-y)+i\cdot{}h(x+iy)-i\cdot{}h(x-iy)\right]$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}\cdot{}\left[\red{h(x+y,x+y)}-\blue{h(x-y,x-y)}+i\cdot{}h(x+iy,x+iy)-i\cdot{}h(x-iy,x-iy)\right]$ [/mm] nach dem Hinweis in der Aufgabenstellung
[mm] $=\frac{1}{4}\cdot{}\left[\red{h(x,x+y)+h(y,x+y)}-\left(\blue{h(x,x-y)+h(-y,x-y)}\right)+i\cdot{}\left(h(x,x+iy)+h(iy,x+iy)\right)-i\cdot{}\left(h(x,x-iy)+h(-iy,x-iy)\right)\right]$
[/mm]
Linearität!
Und weiter im Text, ziehe alles noch weiter auseinander, denke daran, dass du die Skalare im ersten Argument so herausziehen kannst, wie sie im HP stehen, im zweiten Argument ziehe sie komplex konjuguert heraus.
Der Rest ist nur Rechnerei und Aufpassen mit Vorzeichen 
Es wird sich im Laufe der Rechnung das meiste wegheben und in der Klammer nur [mm] $4\cdot{}h(x,y)$ [/mm] übrigbleiben, so dass die Beh. unmittelbar folgt
>
> Lg weihnachtsmann
Gruß
schachuzipus
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hallo,
danke für deine ausführliche antwort. Jetzt weiß ich wie ich an die sache drangehen muss 
wenn ich z.B h(x,-y), dann wäre h(x,-y)=-h(x,y)
und ih(x,iy)=h(x,y)
und h(x,x+y)=h(x,x)+h(x,y), richtig?
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Hallo nochmal,
> hallo,
>
> danke für deine ausführliche antwort. Jetzt weiß ich wie
> ich an die sache drangehen muss
>
> wenn ich z.B h(x,-y), dann wäre h(x,-y)=-h(x,y) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, denn du ziehst zwar eigentlich das $-1$ als komplex Konjugiertes aus dem 2.Argument, aber [mm] $\overline{-1}=-1$ [/mm]
>
> und ih(x,iy)=h(x,y)
genau, wegen [mm] $i\cdot{}\overline{i}=i\cdot{}(-i)=1$
[/mm]
>
> und h(x,x+y)=h(x,x)+h(x,y), richtig?
Jo, so geht das, ist nur etwas Frickelei, um den Überblick nicht zu verlieren
LG
schachuzipus
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oh super, dann hab ich's raus war ja wirklich nicht so schwierig! danke dir noch mal für deine hilfe!!!!!!
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| Aufgabe | | Folgere , dass das Skalarprodukt <,> in einem unitären Vektorraum eindeutig durch den zugehörigen bertrag II *II bestimmt ist. |
Hallo,
diese Frage stand unter dieser Aufgabe:
Ist diese Frage aber nicht trivial?
die defintion vom skalarprodukt ist:
[mm] IIxII^{2} [/mm] := <x,x>
daraus folgt:
<x,y>=IIx*yII
oder nicht?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist Unsinn:
"daraus folgt:
<x,y>=IIx*yII "
(warum?)
setze h(x,y) = <x,y>, dann ist h(x,x) = ||x||²
Wende nun die erste Aufgabe an
FRED
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