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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:27 Di 05.06.2007 | | Autor: | deex |
| Aufgabe | | Lösen Sie folgende Aufgabe |
Ich brauche unbedingt einmal Hilfe bei folgender Aufgabe:
[mm] \integral_{0}^{\alpha}{\integral_{0}^{\pi}{ \bruch{2y - 2 cosx}{1 - 2ycosx + y^{2}} dx } dy}
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \alpha
[/mm]
0 < [mm] \alpha [/mm] < 1
Dabei haben wir den Tipp bekommen das wir was mit Tan substituieren sollen. Allerdings habe ich das jetzt schon ein ganzes Stück probiert - allerdings ohne Erfolg...
hoffe mir kann jemand helfen - oder zumindestens sagen wie genau ich substituren soll... - nicht nur irgendwas mit Tan...
thx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 06.06.2007 | | Autor: | KarlMarx |
Hallo deex!
Die Substitution mit [mm]\tan[/mm] ist die Generalsubstitution. Sie lautet: [mm]t = \tan{\bruch{x}{2}}[/mm].
Mit zwei Additionssätzen für trigon. Funktionen erhält man:
[mm]\sin x = \bruch{2t}{1+t^2}[/mm], [mm]\cos x = \bruch{1-t^2}{1+t^2}[/mm] und [mm]dx = \bruch{2 dt}{1+t^2}[/mm].
Wird diese Substitution zuerst angewandt, trifft man auf einen relativ unangenehmen Bruchterm:
[mm]I = 4 \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{\tan (0,5 \pi)} \bruch{y-\bruch{1-t^2}{1+t^2}}{1+t^2-2y(1-t^2)+y^2(1+t^2)} dt \, dy \qquad = \qquad 4 \integral_{0}^{a} \integral_{0}^{\tan (0,5 \pi)} \bruch{y-\bruch{1-t^2}{1+t^2}}{(1-y)^2+(1+y)^2 t^2} dt \, dy[/mm].
Nicht gerade einfach zu händeln. Außerdem entsteht das Problem, daß die obere Integrationsgrenze [mm]\tan (0,5 \pi)[/mm] nicht definiert ist.
Stattdessen könnte man besser zuerst nach [mm]dy[/mm] integrieren. Meineswissens ist das bei einer stetigen Funktion in kartesischen Koordinaten kein Problem.
Kleines Beispiel:
[mm]\integral_0^1 \integral_0^1 (x^2 + y) dx \, dy = \bruch{5}{6} = \integral_0^1 \integral_0^1 (x^2 + y) dy \, dx[/mm].
Wird also das gegebene Integral in der Integrationsreihenfolge vertauscht, erhält man: [mm]I = \integral_0^{\pi} \integral_0^a \bruch{2y-2 \cos x}{1-2y \cos x +y^2} dy \, dx[/mm].
Offenbar ist der Zähler die Ableitung des Nenners, weswegen man die logarithmische Integration anzuwenden hat: [mm]\integral \bruch{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|[/mm].
Ich lasse hier die Integrationsgrenzen erstmal weg - es sollte keinen Unterschied machen, ob sie jetzt oder ganz zum Schluß eingesetzt werden. Es ergibt sich:
[mm]I = \integral \ln|1-2y \cos x + y^2| dx[/mm].
Mit den Faktoren [mm]v' = 1[/mm] und [mm]u = \ln|1-2y \cos x + y^2|[/mm] müßte nun partiell integriert werden: [mm]\integral u v' = u v - \integral u' v[/mm]:
[mm]I = x \ln|1-2y \cos x + y^2| - \integral x \bruch{2y-2 \cos x}{1-2y \cos x + y^2} dx[/mm]
Mmmh, ab hier komm ich momentan auch noch nicht so recht weiter. Eigentlich sollte man das Gerät nun mit der Generalsubstitution erschlagen können - ist mir aber leider noch nicht gelungen. Vielleicht hat ja auch wer anders eine Idee?
Gruß, Marx.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 07.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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